Studio di funzione
Sia
$f(x)= [1-cos(2x^3)] / (5x^6 + 3x^8)$
a) Determinare il campo di esistenza D di f e studiarne le proprietà topologiche.
b) Dimostrare che f ammette minimo assoluto in infiniti punti, e determinarli.
c) Dire se f si può estendere con continuità in tutto $RR$, ed in caso di risposta positiva determinare l'estensione continua $\bar f$ .
d) Dimostrare che $\bar f$ è infinitesima per x$->$ $+-$ $\infty$. Verificare che questi infinitesimi non sono confrontabili con l'infinitesimo principale $1/|x|$.
e)Utilizzando il teorema di Weierstrasse dimostrare che $\bar f$ ammette massimo assoluto.
Svolto il punto a, come faccio, senza utilizzare le derivate e utilizzando se possibile gli o-piccoli, a svolgere gli altri punti??
$f(x)= [1-cos(2x^3)] / (5x^6 + 3x^8)$
a) Determinare il campo di esistenza D di f e studiarne le proprietà topologiche.
b) Dimostrare che f ammette minimo assoluto in infiniti punti, e determinarli.
c) Dire se f si può estendere con continuità in tutto $RR$, ed in caso di risposta positiva determinare l'estensione continua $\bar f$ .
d) Dimostrare che $\bar f$ è infinitesima per x$->$ $+-$ $\infty$. Verificare che questi infinitesimi non sono confrontabili con l'infinitesimo principale $1/|x|$.
e)Utilizzando il teorema di Weierstrasse dimostrare che $\bar f$ ammette massimo assoluto.
Svolto il punto a, come faccio, senza utilizzare le derivate e utilizzando se possibile gli o-piccoli, a svolgere gli altri punti??
Risposte
Partiamo dal punto b)
Cosa puoi dire del denominatore? Che è sempre...
Cosa puoi dire del numeratore? ...
Cosa puoi dire del denominatore? Che è sempre...
Cosa puoi dire del numeratore? ...
Il denominatore è sempre positivo con x≠0
Del numeratore?
Del numeratore?
Ok per il denominatore.
Per il numeratore possiamo dire che è sempre maggiore o uguale a zero (perchè?)
Dunque $f(x)>=0$ per ogni $x in D$
Per il numeratore possiamo dire che è sempre maggiore o uguale a zero (perchè?)
Dunque $f(x)>=0$ per ogni $x in D$
Benissimo! Poi..
Dunque i punti di minimo saranno quelli per cui $f(x)=0$.
Ma $f(x)=0$ se e solo se $cos(2x^3)=1$ quindi se $x=0$ e per $x=0$ ho $0/0$!
Quindi devo svolgerlo con i limiti! Però come dimostro che i punti di minimo assoluto sono infiniti? E come li trovo?
Quindi devo svolgerlo con i limiti! Però come dimostro che i punti di minimo assoluto sono infiniti? E come li trovo?
Qual è la soluzione di $cos(alpha)=1$?
$cos(α)=1$ se $α=0$ quindi se $x=0+kπ$ no?
La soluzione di $cos(alpha)=1$ è $alpha= 2kpi$, con $k in ZZ$.
Dunque $cos(2x^3)=1 <=> 2x^3= 2kpi$, con $k in ZZ <=> x^3 = kpi, k in ZZ <=> x= root3(kpi), k in ZZ$.
Ora, dato che il dominio $D$ è $RRsetminus {0}$, bisogna escludere la soluzione nulla, che si ottiene quando $k=0$.
Pertanto $f(x)=0 <=> x= root3(kpi)$, con $k in ZZ setminus{0}$.
Dato che l'insieme $ ZZ setminus{0}$ è infinito, abbiamo infinite soluzioni distinte.
Esistono pertanto infiniti punti di minimo.
Dunque $cos(2x^3)=1 <=> 2x^3= 2kpi$, con $k in ZZ <=> x^3 = kpi, k in ZZ <=> x= root3(kpi), k in ZZ$.
Ora, dato che il dominio $D$ è $RRsetminus {0}$, bisogna escludere la soluzione nulla, che si ottiene quando $k=0$.
Pertanto $f(x)=0 <=> x= root3(kpi)$, con $k in ZZ setminus{0}$.
Dato che l'insieme $ ZZ setminus{0}$ è infinito, abbiamo infinite soluzioni distinte.
Esistono pertanto infiniti punti di minimo.
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