Risolvere il seguente limite attraverso i limiti notevoli

[Fenomeno991]

Ho un problema ad impostare la risoluzione di questo limite, che vorrei risolvere con i limiti notevoli

$\lim_{n \to \1^+} (sqrt(n^2 - 1) - sqrt ( n^2 + n - 2)) / (log n ) $

Lo spezzo in due limiti?

[stormy1]

osserva che
$n^2-1=(n-1)(n+1)$
$n^2+n-2=(n-1)(n+2)$
ciò ti permette di mettere in evidenza al numeratore il termine $sqrt(n-1)$
lavora sul termine
$sqrt(n-1)/(logn)$

[elianto84]

Come suggerito da stormy:

\(\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+x-2}}{\log x}=\lim_{x\to 1^+}\frac{\sqrt{x-1}}{\log x}\cdot\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)=(\sqrt{2}-3)\cdot\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x}}{\log(x+1)}. \)

Ora l'ultimo limite può essere smontato considerando che per ogni \(\displaystyle x \) positiva si ha \(\displaystyle \log(x+1)\leq x \)
(o, equivalentemente, \(\displaystyle e^x\geq x+1 \)), per cui:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\log(x+1)}\geq \frac{1}{\sqrt{x}} \)

e l'ultima disuguaglianza comporta che il limite di partenza valga \(\displaystyle -\infty \).