Forme differenziali lineari per \( n = 1 \)
Ciao a tutti,
ho un dubbio sulle forme differenziali lineari.
Nel caso \( n = 1 \) pare che ogni forma differenziale \( \omega \) di classe \( C^0 \) sia esatta, cioè sia il differenziale di una qualche funzione.
Ma io non riesco a vederlo, anche se probabilmente è una banalità.
Chi mi aiuta a capirlo?
ho un dubbio sulle forme differenziali lineari.
Nel caso \( n = 1 \) pare che ogni forma differenziale \( \omega \) di classe \( C^0 \) sia esatta, cioè sia il differenziale di una qualche funzione.
Ma io non riesco a vederlo, anche se probabilmente è una banalità.
Chi mi aiuta a capirlo?
Risposte
Una f.d.l. di classe \(C^0\) in un'unica variabile è una cosa del tipo:
\[
\omega := f(x)\ \text{d} x
\]
con \(f\in C^0(I)\), \(I\) essendo un intervallo non degenere di \(\mathbb{R}\).
Ma in tali ipotesi il TFCI ti assicura che ogni funzione del tipo:
\[
F(x):= y_0+\int_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t
\]
(con \(x_0\in I\) ed \(y_0\in \mathbb{R}\)) è una primitiva di \(f\) in \(I\), e ciò equivale a dire che \(\omega =\text{d}F\) in \(I\).
\[
\omega := f(x)\ \text{d} x
\]
con \(f\in C^0(I)\), \(I\) essendo un intervallo non degenere di \(\mathbb{R}\).
Ma in tali ipotesi il TFCI ti assicura che ogni funzione del tipo:
\[
F(x):= y_0+\int_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t
\]
(con \(x_0\in I\) ed \(y_0\in \mathbb{R}\)) è una primitiva di \(f\) in \(I\), e ciò equivale a dire che \(\omega =\text{d}F\) in \(I\).
Sono piuttosto confuso sulle notazioni.
Tu hai scritto che
\[ \omega = f(x)\, {\rm d}x \]
Ma non dovrebbe essere \( \omega(x) = f(x)\, {\rm d}x \) (e quindi \( \omega = f\, {\rm d}x \))?
La definizione in mio possesso di f.d.l. è questa.
Sia \( \Omega \) un aperto di \( \mathbb{R}^n \). Si dice forma differenziale lineare su \( \Omega \) una qualunque applicazione \( \omega : \Omega \rightarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}) \), ossia una funzione che associa ad ogni \( \mathbf{x} \in \Omega \) un funzionale lineare su \( \mathbb{R}^n \).
Non ho capito a partire da qui come si fa a dire che ogni forma differenziale lineare si può scrivere come
\[ \omega = \sum_{i=1}^n \omega_i\, {\rm d}x_i \]
dove \( \omega_i : \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) sono i coefficienti di \( \omega \) e \( {\rm d}x_i \in \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}) \) è il funzionale lineare su \( \mathbb{R}^n \) definito da
\[ \langle {\rm d}x_i, \mathbf{h} \rangle = h_i \qquad \text{per ogni } \mathbf{h} = (h_1, \dots, h_n) \in \mathbb{R}^n, i \in \lbrace 1 \dots, n \rbrace \]
Io so solo che, grazie alle proprietà dello spazio duale di \( \mathbb{R}^n \), risulta
\[ \omega(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \omega_i(\mathbf{x})\, {\rm d}x_i \]
e non mi sembra proprio la stessa cosa, anzi.
Tu hai scritto che
\[ \omega = f(x)\, {\rm d}x \]
Ma non dovrebbe essere \( \omega(x) = f(x)\, {\rm d}x \) (e quindi \( \omega = f\, {\rm d}x \))?
La definizione in mio possesso di f.d.l. è questa.
Sia \( \Omega \) un aperto di \( \mathbb{R}^n \). Si dice forma differenziale lineare su \( \Omega \) una qualunque applicazione \( \omega : \Omega \rightarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}) \), ossia una funzione che associa ad ogni \( \mathbf{x} \in \Omega \) un funzionale lineare su \( \mathbb{R}^n \).
Non ho capito a partire da qui come si fa a dire che ogni forma differenziale lineare si può scrivere come
\[ \omega = \sum_{i=1}^n \omega_i\, {\rm d}x_i \]
dove \( \omega_i : \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) sono i coefficienti di \( \omega \) e \( {\rm d}x_i \in \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}) \) è il funzionale lineare su \( \mathbb{R}^n \) definito da
\[ \langle {\rm d}x_i, \mathbf{h} \rangle = h_i \qquad \text{per ogni } \mathbf{h} = (h_1, \dots, h_n) \in \mathbb{R}^n, i \in \lbrace 1 \dots, n \rbrace \]
Io so solo che, grazie alle proprietà dello spazio duale di \( \mathbb{R}^n \), risulta
\[ \omega(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \omega_i(\mathbf{x})\, {\rm d}x_i \]
e non mi sembra proprio la stessa cosa, anzi.
Sinceramente, non capisco cosa tu voglia sapere.
La definizione che riporti e tutto il resto "stanno bene insieme", quindi?
Ti turba così tanto l'omissione di una dipendenza da \(x\)? O il fatto che io abbia usato una \(f\) là dove tu usi una \(\omega_1\)???
Dai...
La definizione che riporti e tutto il resto "stanno bene insieme", quindi?
Ti turba così tanto l'omissione di una dipendenza da \(x\)? O il fatto che io abbia usato una \(f\) là dove tu usi una \(\omega_1\)???
Dai...
Bah, in effetti pure a me pare che la prima notazione generi confusione 
Lascia ad intendere che $\omega(\mathbf{x})$ sia un numero reale.
Lascia ad intendere che $\omega(\mathbf{x})$ sia un numero reale.
"gugo82":
Sinceramente, non capisco cosa tu voglia sapere.
Quello che non ho capito è come si passa da qui:
\[ \omega(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \omega_i(\mathbf{x})\, {\rm d}x_i \]
a qui:
\[ \omega = \sum_{i=1}^n \omega_i\, {\rm d}x_i \]
Mi fa strano perché il duale di \( \mathbb{R}^n \) non è dotato di un'operazione di "prodotto per una funzione \( \Omega \rightarrow \mathbb{R} \)" (almeno, che io sappia), quindi non ha senso una roba del tipo
\[ \omega_1\, {\rm d}x \]
mentre invece ha senso una roba del tipo
\[ \omega_1(\mathbf{x})\, {\rm d}x \]
visto che il duale di \( \mathbb{R}^n \) è uno spazio vettoriale reale.
"gugo82":
Ti turba così tanto l'omissione di una dipendenza da x?
Beh, mettiamola così: considera l'uguaglianza
\[ \omega = f(x)\, {\rm d}x \]
A primo membro ho una funzione \( \Omega \rightarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}) \), mentre a secondo membro ho un funzionale lineare su \( \mathbb{R}^n \) (in quanto \( f(x) \in \mathbb{R} \) e il duale di \( \mathbb{R}^n \) è uno spazio vettoriale reale).
Come fanno ad essere uguali?
Il tutto si sistema se scrivo \( \omega(\mathbf{x}) \) al posto di \( \omega \), perché in tal caso ottengo un funzionale lineare su \( \mathbb{R}^n \), come è giusto che sia.
"gugo82":
O il fatto che io abbia usato una \( f \) là dove tu usi una \( \omega_1 \)???
Questo no, perché l'unica differenza sta nel nome.
Vabbé, dai... Cioè, è un po' come dire che se scrivo "la funzione \(f(x)\)" anziché "la funzione \(f\)" ti mando nel pallone.
Meno pedanteria sarebbe apprezzabile.
Ad ogni buon conto, ancora non ho afferrato il nocciolo della questione.
Affinché una f.d.l. sia esatta essa deve essere il differenziale di una funzione scalare; nel caso di f.d.l. di un'unica variabile, la sola continuità del coefficiente basta a garantire che la f.d.l. è esatta (via il TFCI). E qui non penso ci siano problemi di sorta.
Per quanto riguarda la formula di rappresentazione di una f.d.l., cioé:
\[
\underline{\omega} = \sum_{n=1}^N \omega_n\ \text{d} x_n
\]
non capisco la difficoltà.
Dato che, per fissato \(\mathbf{x}\in \Omega\), si ha \(\underline{\omega}(\mathbf{x}) \in \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^N;\mathbb{R})\) e dato che i funzionali \(\text{d}x_1,\ldots ,\text{d}x_N \in \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^N;\mathbb{R})\) costituiscono una base dello spazio vettoriale \(\operatorname{Hom}(\mathbb{R}^N;\mathbb{R})\), è evidente che esistono (e sono univocamente determinati) \(N\) coefficienti \(\omega_1(\mathbf{x}),\ldots ,\omega_N(\mathbf{x})\in \mathbb{R}\) tali che:
\[
\underline{\omega}(\mathbf{x}) = \sum_{n=1}^N \omega_n(\mathbf{x})\ \text{d}x_n\; ;
\]
quindi si possono canonicamente associare alla f.d.l. \(\underline{\omega}\) esattamente \(N\) applicazioni \(\omega_1,\ldots,\omega_n:\Omega \to \mathbb{R}\) tali che:
\[
\underline{\omega} = \sum_{n=1}^N \omega_n\ \text{d}x_n
\]
e le applicazioni \(\omega_n\) vengono detti coefficienti della f.d.l. \(\underline{\omega}\).
Il tutto è abbastanza standard, no?
Meno pedanteria sarebbe apprezzabile.
Ad ogni buon conto, ancora non ho afferrato il nocciolo della questione.
Affinché una f.d.l. sia esatta essa deve essere il differenziale di una funzione scalare; nel caso di f.d.l. di un'unica variabile, la sola continuità del coefficiente basta a garantire che la f.d.l. è esatta (via il TFCI). E qui non penso ci siano problemi di sorta.
Per quanto riguarda la formula di rappresentazione di una f.d.l., cioé:
\[
\underline{\omega} = \sum_{n=1}^N \omega_n\ \text{d} x_n
\]
non capisco la difficoltà.
Dato che, per fissato \(\mathbf{x}\in \Omega\), si ha \(\underline{\omega}(\mathbf{x}) \in \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^N;\mathbb{R})\) e dato che i funzionali \(\text{d}x_1,\ldots ,\text{d}x_N \in \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^N;\mathbb{R})\) costituiscono una base dello spazio vettoriale \(\operatorname{Hom}(\mathbb{R}^N;\mathbb{R})\), è evidente che esistono (e sono univocamente determinati) \(N\) coefficienti \(\omega_1(\mathbf{x}),\ldots ,\omega_N(\mathbf{x})\in \mathbb{R}\) tali che:
\[
\underline{\omega}(\mathbf{x}) = \sum_{n=1}^N \omega_n(\mathbf{x})\ \text{d}x_n\; ;
\]
quindi si possono canonicamente associare alla f.d.l. \(\underline{\omega}\) esattamente \(N\) applicazioni \(\omega_1,\ldots,\omega_n:\Omega \to \mathbb{R}\) tali che:
\[
\underline{\omega} = \sum_{n=1}^N \omega_n\ \text{d}x_n
\]
e le applicazioni \(\omega_n\) vengono detti coefficienti della f.d.l. \(\underline{\omega}\).
Il tutto è abbastanza standard, no?
Cosa vuol dire associare canonicamente?
Canonicamente: "mediante un procedimento di uso comune, in cui non si deve fare nessuna operazione strana o forzata"...
L'uso dell'aggetivo canonico (e dell'avverbio da esso derivato) in questa accezione è estremamente comune. Ad esempio: proiezione canonica, immersione canonica, rappresentazione canonica, prodotto scalare canonico, etc... Mai sentiti questi termini?
L'uso dell'aggetivo canonico (e dell'avverbio da esso derivato) in questa accezione è estremamente comune. Ad esempio: proiezione canonica, immersione canonica, rappresentazione canonica, prodotto scalare canonico, etc... Mai sentiti questi termini?
\[ \forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N,\quad \underline{\omega}(\mathbf{x}) = \sum_{n=1}^N \omega_n(\mathbf{x})\ \text{d}x_n(\mathbf{x}) \]Da
sono abituato a dedurre
\[
\forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N,\quad \underline{\omega}(\mathbf{x}) = \left(\sum_{n=1}^N \omega_n\ \text{d}x_n\right)(\mathbf{x})
\]
Interpretando poi ciascuno degli $\omega_n"d"x_n$ come un prodotto[nota]Meglio: come il solito prodotto tra funzioni reali, vale a dire $(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$.[/nota] di funzioni reali - l'unica interpretazione sensata che mi viene in mente - concludo
\[
\forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N,\quad \underline{\omega}(\mathbf{x}) = \sum_{n=1}^N \omega_n(\mathbf{x})\ \text{d}x_n(\mathbf{x})
\]
Ora, $\underline{\omega}(\mathbf{x})$ è un funzionale, la roba al secondo membro un numero reale: evidentemente i conti non tornano. Se poi, per comodità, si conviene di attribuire alla $(1)$ il significato corretto, è un altro paio di maniche.
"gugo82":
\[
\underline{\omega} = \sum_{n=1}^N \omega_n\ \text{d}x_n\tag{1}
\]
sono abituato a dedurre
\[
\forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N,\quad \underline{\omega}(\mathbf{x}) = \left(\sum_{n=1}^N \omega_n\ \text{d}x_n\right)(\mathbf{x})
\]
Interpretando poi ciascuno degli $\omega_n"d"x_n$ come un prodotto[nota]Meglio: come il solito prodotto tra funzioni reali, vale a dire $(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$.[/nota] di funzioni reali - l'unica interpretazione sensata che mi viene in mente - concludo
\[
\forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N,\quad \underline{\omega}(\mathbf{x}) = \sum_{n=1}^N \omega_n(\mathbf{x})\ \text{d}x_n(\mathbf{x})
\]
Ora, $\underline{\omega}(\mathbf{x})$ è un funzionale, la roba al secondo membro un numero reale: evidentemente i conti non tornano. Se poi, per comodità, si conviene di attribuire alla $(1)$ il significato corretto, è un altro paio di maniche.
No, dai ragazzi, non scherziamo... Se vi scrivo per filo e per segno come si arriva a stabilire una notazione d'uso comune, non potete uscirvene con letture che definire "esotiche" è un complimento. 
@ Plepp: L'equivoco nasce dal fatto che non capisci che i funzionali \(\text{d}x_n\) non agiscono (e non possono agire) sulla variabile \(\mathbf{x}\) da cui dipende \(\underline{\omega}\).
@ Plepp: L'equivoco nasce dal fatto che non capisci che i funzionali \(\text{d}x_n\) non agiscono (e non possono agire) sulla variabile \(\mathbf{x}\) da cui dipende \(\underline{\omega}\).
"Plepp":
Da
[quote="gugo82"]
\[ \underline{\omega} = \sum_{n=1}^N \omega_n\ \text{d}x_n\tag{1} \]
sono abituato a dedurre
\[ \forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N,\quad \underline{\omega}(\mathbf{x}) = \left(\sum_{n=1}^N \omega_n\ \text{d}x_n\right)(\mathbf{x}) \][/quote]
Anch'io.
"Plepp":
Interpretando poi ciascuno degli $ \omega_n"d"x_n $ come un prodotto di funzioni reali - l'unica interpretazione sensata che mi viene in mente - concludo
Il problema è che \( {\rm d}x_i \) è un elemento del duale di \( \mathbb{R}^n \), quindi questa interpretazione non funziona (o forse sì?).
Ed è proprio qui che nasce il dubbio: come devo interpretare quel prodotto?
@ Riccardo: Una volta fissata \(\mathbf{x}\in \Omega\), quello è un semplice prodotto di uno scalare (\(\omega_n(\mathbf{x})\)) per un vettore (\(\text{d} x_n\)). Non c'è nulla di misterioso.
E, come dicevo prima a Plepp, levati dalla mente che \(\text{d}x_n\) possa agire sulla variabile da cui dipende \(\underline{\omega}\).
E, come dicevo prima a Plepp, levati dalla mente che \(\text{d}x_n\) possa agire sulla variabile da cui dipende \(\underline{\omega}\).
"gugo82":
@ Riccardo: Una volta fissata \(\mathbf{x}\in \Omega\), quello è un semplice prodotto di uno scalare (\(\omega_n(\mathbf{x})\)) per un vettore (\(\text{d} x_n\)). Non c'è nulla di misterioso.
Certo che è così, ma non è di questo che sto parlando.
"gugo82":
E, come dicevo prima a Plepp, levati dalla mente che \(\text{d}x_n\) possa agire sulla variabile da cui dipende \(\underline{\omega}\).
Infatti non lo penso affatto.
Se io fisso \( \mathbf{x} \) è tutto a posto. È a questa scrittura
\[ \omega = \sum_{i=1}^n \omega_i\, {\rm d}x_i \]
che non riesco a dare un senso.
In definitiva: se io non fisso la \( \mathbf{x} \), come la interpreto?
Il prodotto a cui mi riferisco io è \( \omega_i\, {\rm d}x_i \), che non c'entra nulla con il prodotto omonimo con l'aggiunta della \( \mathbf{x} \).
Spero di aver chiarito qual è il mio problema.
"Riccardo Desimini":
[quote="gugo82"]@ Riccardo: Una volta fissata \(\mathbf{x}\in \Omega\), quello è un semplice prodotto di uno scalare (\(\omega_n(\mathbf{x})\)) per un vettore (\(\text{d} x_n\)). Non c'è nulla di misterioso.
Certo che è così, ma non è di questo che sto parlando.
"gugo82":
E, come dicevo prima a Plepp, levati dalla mente che \(\text{d}x_n\) possa agire sulla variabile da cui dipende \(\underline{\omega}\).
Infatti non lo penso affatto.
Se io fisso \( \mathbf{x} \) è tutto a posto. È a questa scrittura
\[ \omega = \sum_{i=1}^n \omega_i\, {\rm d}x_i \]
che non riesco a dare un senso.
In definitiva: se io non fisso la \( \mathbf{x} \), come la interpreto?[/quote]
Semplicemente la interpreti come ho scritto sopra: un simbolo per denotare qualcosa. Precisamente, per denotare la f.d.l. \(\underline{\omega}\) mettendone in evidenza i coefficienti rispetto ad una base dello spazio vettoriale d'arrivo.
Sgombrato il campo dall'equivoco che \(\text{d}x_n\) possa agire su \(\mathbf{x}\), quella formula non cela nessuna ambiguità.
Ok, adesso è più chiaro. Grazie.
"gugo82":
@ Plepp: L'equivoco nasce dal fatto che non capisci che i funzionali \( \text{d}x_n \) non agiscono (e non possono agire) sulla variabile \( \mathbf{x} \) da cui dipende \( \underline{\omega} \).
In che senso "non può agire"? I funzionali mangiano vettori e sputano scalari, o no?
"Plepp":
[quote="gugo82"]
@ Plepp: L'equivoco nasce dal fatto che non capisci che i funzionali \( \text{d}x_n \) non agiscono (e non possono agire) sulla variabile \( \mathbf{x} \) da cui dipende \( \underline{\omega} \).
In che senso "non può agire"? I funzionali mangiano vettori e sputano scalari, o no?[/quote]
Appunto... Vettori, non punti.
In alcuni corsi di geometria si fa tutta una menata su queste cose che dicono Plepp e Riccardo Desimini. Infatti questa operazione di moltiplicare una funzione liscia ad una forma differenziale rende lo spazio delle forme differenziali un *modulo* avente come spazio di scalari lo spazio delle funzioni liscie. (Un modulo è uno spazio vettoriale che non si appoggia su un campo ma su un anello).
Non ho mai trovato particolarmente utile questa osservazione, ma si fa. Forse può interessare. Spero solo di non generare confusione
Non ho mai trovato particolarmente utile questa osservazione, ma si fa. Forse può interessare. Spero solo di non generare confusione
@gugo: Eccerto! Ma non dirmi così allora, ché mi confondi! 
Una cosa è "non può agire", un'altra è "non ha senso che agisca": in qualsiasi maniera si voglia pensare $\mathbf{x}$, resta pur sempre un elemento di $RR^n$. In ogni modo, una volta chiarito che si tratta solo di mettersi d'accordo, posso mettermi l'anima in pace (penso che lo stesso valga per Riccardo Desimini). 
@dissonance: Interessante! Però nemmeno pensando le $\omega_n$ come degli scalari i conti tornano (leggi: non si necessità di convenzioni, seppur "naturali" e intuitive, per dar senso alla notazione in oggetto). A meno che con $"d"x_n$ non si decida di denotare la f.d.l. che vale costantemente, appunto, $"d"x_n$: in questo caso, non ci sarebbe da interpretare nulla. Ma non credo valga la pena di fare tutto questo macello.
Una cosa è "non può agire", un'altra è "non ha senso che agisca": in qualsiasi maniera si voglia pensare $\mathbf{x}$, resta pur sempre un elemento di $RR^n$. In ogni modo, una volta chiarito che si tratta solo di mettersi d'accordo, posso mettermi l'anima in pace (penso che lo stesso valga per Riccardo Desimini). @dissonance: Interessante! Però nemmeno pensando le $\omega_n$ come degli scalari i conti tornano (leggi: non si necessità di convenzioni, seppur "naturali" e intuitive, per dar senso alla notazione in oggetto). A meno che con $"d"x_n$ non si decida di denotare la f.d.l. che vale costantemente, appunto, $"d"x_n$: in questo caso, non ci sarebbe da interpretare nulla. Ma non credo valga la pena di fare tutto questo macello.
In realtà è piu' chiaro in astratto, se pensi ad una forma differenziale su una varietà. In quel caso non esiste una identificazione tra punti e vettori e quindi anche volendo non puoi confonderti.
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