Dim: Le funzioni semplici sono dense in \(\mbox{PC}[a,b]\)
Problema 10 cap I Reed - Simon. L'idea è di costruire la funzione semplice \(s\) che approssima \(f \in \mbox{PC}[a,b]\). Se l'altezza massima del *gradino* della \(s\) che approssima \(f\) è data da \(\epsilon\) minore della distanza fra \(s\) e \(f\) allora dovremmo essere a posto. Guardare dalla seconda parte di pagina 10 in Reed - Simon, le definizioni ed il discorso sono sviluppati a partire da lì.
Data \(f \in \mbox{PC}[a,b]\) (limita e continua a tratti) prendo una delle funzioni \(\tilde{f}\) di cui è composta, assieme al corrispondente dominio \([\alpha,\beta)\). La funzione è continua e \(\tilde{f}([\alpha,\beta))=[\gamma,\delta)\) è un intervallo (intervallo iff connesso in \(\mathbb{R}\)). Scelto \(\epsilon\) scompongo \([\delta,\gamma)\) in intervalli successivi di diametro \(\epsilon\). Essendo la funzione limitata il numero di scomposizioni è finito.
La retroimmagine della partizione di \([\delta,\gamma)\) mi crea una partizione per \([\alpha,\beta)\), dove ho riordinato i punti* in modo crescente. Se \(x_{n-1},x_{n}\) sono due elementi successivi di questa partizione e per assurdo il (gradino) diametro di \(\tilde{f}([x_{n-1},x_{n}))\) è \(>\) di \(\epsilon\), esiste \(y \in \tilde{f}([x_{n-1},x_{n}))\) e per il teorema del valore intermedio un elemento della partizione \(x \in [x_{n-1},x_{n})\).
[*] Se il discorso è corretto, cosa mi assicura che la retroimmagine della partizione di \([\gamma, \delta)\) sia un insieme finito? Potrebbe essere che la retroimmagine di un punto della partizione di \([\gamma, \delta)\) sia un intervallo, in tal caso lì la funzione è costante e il ragionamento va un po' aggiustato. Se la funzione oscilla troppo? ...
Data \(f \in \mbox{PC}[a,b]\) (limita e continua a tratti) prendo una delle funzioni \(\tilde{f}\) di cui è composta, assieme al corrispondente dominio \([\alpha,\beta)\). La funzione è continua e \(\tilde{f}([\alpha,\beta))=[\gamma,\delta)\) è un intervallo (intervallo iff connesso in \(\mathbb{R}\)). Scelto \(\epsilon\) scompongo \([\delta,\gamma)\) in intervalli successivi di diametro \(\epsilon\). Essendo la funzione limitata il numero di scomposizioni è finito.
La retroimmagine della partizione di \([\delta,\gamma)\) mi crea una partizione per \([\alpha,\beta)\), dove ho riordinato i punti* in modo crescente. Se \(x_{n-1},x_{n}\) sono due elementi successivi di questa partizione e per assurdo il (gradino) diametro di \(\tilde{f}([x_{n-1},x_{n}))\) è \(>\) di \(\epsilon\), esiste \(y \in \tilde{f}([x_{n-1},x_{n}))\) e per il teorema del valore intermedio un elemento della partizione \(x \in [x_{n-1},x_{n})\).
[*] Se il discorso è corretto, cosa mi assicura che la retroimmagine della partizione di \([\gamma, \delta)\) sia un insieme finito? Potrebbe essere che la retroimmagine di un punto della partizione di \([\gamma, \delta)\) sia un intervallo, in tal caso lì la funzione è costante e il ragionamento va un po' aggiustato. Se la funzione oscilla troppo? ...
Risposte
Mi sa infatti che devi specificare meglio cosa significa "piecewise continuous". Può essere che la stessa definizione escluda fenomeni di oscillazione brutale come quelli di cui parli tu. Per esempio, la funzione
\[
\begin{cases}
\sin \left(\frac{1}{x}\right) & x \ne 0 \\
0 & x=0
\end{cases}
\]
è continua a tratti, secondo questa definizione? Questa è sicuramente una funzione che "oscilla troppo" intorno a \(x=0\).
\[
\begin{cases}
\sin \left(\frac{1}{x}\right) & x \ne 0 \\
0 & x=0
\end{cases}
\]
è continua a tratti, secondo questa definizione? Questa è sicuramente una funzione che "oscilla troppo" intorno a \(x=0\).
Grazie. Secondo la definizione riportata dal libro a \(\sin x^{-1}\) della tua funzione è richiesta la continuità destra in \(0\), che manca. Mi sembra che per renderla \(\mbox{PC}[a,b]\) bisogna evitare di definire \(\sin x^{-1}\) in tutto un intorno dello zero, in questo modo le oscillazioni potrebbero essere finite. (Ma la funzione che riporti, non è comunque integrabile?)
Usando la definizione di continuità a tratti dovrei invocare qualche dimostrazione per assurdo per garantire che la retroimmagine della partizione di \([\gamma,\delta)\) sia finita, altrimenti la dimostrazione non sarà completa.
Usando la definizione di continuità a tratti dovrei invocare qualche dimostrazione per assurdo per garantire che la retroimmagine della partizione di \([\gamma,\delta)\) sia finita, altrimenti la dimostrazione non sarà completa.
Vabbé, allora non c'è problema!
Per costruire una funzione semplice basta restringere \(f\) ad un intervallo di continuità \(I_k\); prolungarla su \(\bar{I}_k\) per continuità; costruire un'approssimante semplice \(s_k\) su \(\bar{I}_k\). Fatto ciò, considera la funzione \(s:=\sum_k s_k\ \chi_{I_k} + f(x_k)\ \chi_{\{x_k\}}\) (gli \(x_k\) essendo i punti degli intervallini dentro cui \(f\) è continua) e nota che essa è l'approssimante semplice cercata.
Per costruire una funzione semplice basta restringere \(f\) ad un intervallo di continuità \(I_k\); prolungarla su \(\bar{I}_k\) per continuità; costruire un'approssimante semplice \(s_k\) su \(\bar{I}_k\). Fatto ciò, considera la funzione \(s:=\sum_k s_k\ \chi_{I_k} + f(x_k)\ \chi_{\{x_k\}}\) (gli \(x_k\) essendo i punti degli intervallini dentro cui \(f\) è continua) e nota che essa è l'approssimante semplice cercata.
E perché sei sicuro che \(f\) si possa prolungare per continuità? Secondo la definizione riportata, la funzione
\[
\begin{cases}
\sin \frac{1}{x} & x<0 \\
0 & x \ge 0
\end{cases}
\]
è nella classe PC.
\[
\begin{cases}
\sin \frac{1}{x} & x<0 \\
0 & x \ge 0
\end{cases}
\]
è nella classe PC.
Mmmm... E pure hai ragione.
Probabilmente, leggendo di sfuggita ho interpretato male qualcosa nel messaggio precedente.
Però non credo che la costruzione proposta sia da buttar via. Insomma, mi pare che per definizione si abbia \(f|_{I_k} \in C_b(I_k)\) (\(C_b\) è lo spazio delle funzioni continue e limitate), quindi non dovrebbero esserci problemi ad approssimare \(f|_{I_k}\) con una funzione semplice \(s_k\) in \(I_k\) ed a costruire, successivamente, l'approssimante globale come ho detto sopra.
Probabilmente, leggendo di sfuggita ho interpretato male qualcosa nel messaggio precedente.
Però non credo che la costruzione proposta sia da buttar via. Insomma, mi pare che per definizione si abbia \(f|_{I_k} \in C_b(I_k)\) (\(C_b\) è lo spazio delle funzioni continue e limitate), quindi non dovrebbero esserci problemi ad approssimare \(f|_{I_k}\) con una funzione semplice \(s_k\) in \(I_k\) ed a costruire, successivamente, l'approssimante globale come ho detto sopra.
Una domanda sul teorema B.L.T. wiki che viene poi usato per estendere l'integrale di Riemann su \(\mbox{PC}[a,b]\): sia \(Y\) denso nello spazio topologico \(X\). Volendo definire una applicazione \(f\) in \(X\) la definisco prima in \(Y\) poi uso B.L.T. per estenderla al completamento \(Y^{\tilde{}}\), ottenendo \(f^{\tilde{}}\). Se attraverso l'isometria \(\varphi\) fra \(Y\) ed il completamento, l'immagine di \(X\) è la chiusura dell'immagine di \(Y\), restringo \(f^{\tilde{}}\) sull'immagine di \(X\) e tutto ha senso. Giusto?
Edit: no, devo riguardare la parte sottolineata.
Edit: no, devo riguardare la parte sottolineata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo