Analisi matematica di base

Data una serie di funzioni $\sum_{n\geq 0} u_n(x)$, la convergenza normale (o totale) su un sottoinsieme $S\subset \mathbb{R}$ è definita come: $$\exists\,\, M_{n}>0 : \sum_{n \geq 0} M_n \,\,\,\,\mathrm{converge}\,\,\,\, \mathrm{e} \,\,\, \forall n>n_0 \,\,\, |u_{n}(x)|\leq M_n \,\,\,\forall x \in S$$ Dove le $M_n$ sono funzioni, appunto, solo di $n$ e non di $x$. Ho un dubbio su questa definizione: è un problema se ...

Sul libro scrive che $y(t)=r[x(t)]$ (ossia il segnale in uscita rispetto a un sistema è la risposta al segnale in ingresso) e dato che un segnale x(t) si può riscrivere come $x(t)=int_(-infty)^(infty)x(tau)delta(t-tau)d(tau)$ (e fin qui ci siamo) allora $y(t)=r[int_(-infty)^(infty)x(tau)delta(t-tau)d(tau)]$ ma non capisco perchè ciò sia uguale a $r[int_(-infty)^(infty)x(tau)delta(t-tau)d(tau)]=int_(-infty)^(infty)x(tau)r[delta(t-tau)]d(tau)$. Sapreste spiegarmi ciò che fa in questo passaggio?

Ciao ragazzi,ho svolto quest'integrale doppio ma ho qualche dubbio sul risultato. $ int int_(D)y dx dy $ dove $ D = [(x,y)in R^2:1<=x^2+y^2<= 2x] $. Dunque il dominio è la parte di piano esterna alla prima cirfonferenza di centro O=(0,0) ed interna alla seconda circonferenza di centro P=(1,0),entrambe di raggio 1. Se considero il dominio normale rispetto a y allora posso impostare l'integrale così (qui ho dei dubbi sugli estremi di integrazione): $ int_(-1)^(1)ydy int_(sqrt(1-y^2))^(1+sqrt(1-y^2)) dx $. Svolgendo i calcoli (abbastanza semplici) ottengo ...

ciao a tutti, mi ritrovo alle prese con questa serie: $ Sigma (-1)^n*(7ln (n+4))/(n+1) $ per lo studio del carattere ho verificato con Leibniz che la serie converge (An -> 0 per n-> $ oo $ e An+1 < An) ora mi viene chiesto di calcolare quanti termini occorre sommare per avere un errore che, in valore assoluto, non superi $ 10^(-3) $ dato che la serie e' a segni alterni so che il valore assoluto del resto e' sempre minore del primo termine trascurato, quindi mi viene da risolvere la ...

Salve devo risolvere la seguente eq differenziale alle derivate parziali $ U_(x x) +U_ (xy)+U_yy+sin(u)=12*(x^2+y^2)+sin(x^2+y^2) $ Ho effettuato il cambiamento di coordinate: $ { ( eta=((3)^(1/2)x/2 ),( ξ=y-(1/2)x ):} $ Non riesco a capire come trasformare le condizioni al contorno. Ad esempio in un contorno [ 0 1] x [ 0 1] ho $ U(0,y)=y^4 $ e $ U(x,1)=1+x^4 $ Come li dovrei trasformare? Grazie

Non capisco questo passaggio di una riscrittura della serie di fourier per una funzione x(t). Qualcuno la seconda uguaglianza di $ x(t) = Co + sum_(n=1)^(infty)(Cn exp{j2pin/(To)t}+coniugate(Cn)exp{-j2pin/(To)t}) = Co + sum_(n=1)^(infty)(2Re(Cn)cos(2pin/(To)t)-2Im(Cn)sin{2pin/(To)t}) $ dove Cn è l'ennesimo coefficiente della serie di Fourier, j è sqrt(-1), Re() e Im() restituiscono rispettivamente la parte reale e immaginaria dell'argomento, To è una costante, coniugate() restuisce il coniugato di un numero complesso (non sapevo scriverlo con l'asterisco). Ricordo che la formula di un coefficiente ennesimo di Fourier è ...

Salve, stavo provando a risolvere un esercizio che mi chiedeva per quali $x>=0$ convergesse la serie così definita $f_n(x)=((nx)^n)/(n!)$ Anzitutto come ho proceduto a verificare quando la convergenza è puntuale (che, correggetemi se sbaglio, è CNS affinché converga anche uniformemente). Fissato x, mi ritrovavo dunque a dover risolvere una serie numerica $\sum_{n=1}^infty ((nx)^n)/(n!)$ A questo punto ho provato due differenti approcci (che tra le altre cose mi danno due differenti risultati ed ...

Buona domenica a tutti. Sto trovando difficoltà nella determinazione dei termini dominanti (quindi raccoglimento con comparsa degli "o piccolo") nella risoluzione di limiti di successioni, con n che tende ad infinito. Prendiamo la seguente come esempio: \(\ a_n=\frac{n!7^{n!}-5^{(n+1)!}}{((n+1)!)^2+32^{n^2}+1} \) Al numeratore mi verrebbe da pensare che \(\ n!7^{n!} \) sia il termine dominante al denominatore invece, anche riscrivendo i primi due sotto forma d'esponenziali, non saprei ...

Salve, sto cercando di capire come risolvere questo limite: $ lim ((e^(x^(2)) -e^(arcsen^2(x)))*tan(x^4))/(log^2(cos2x)*((x^4 +x^6)^(1/2) -x^2) $ con x che tende a 0. Ho messo in evidenza la e^arcsen, ho utilizzato il limite notevole dell'esponenziale,della tangente e del logaritmo, poi ho applicato il limite notevole del coseno, ottenendo questo: $ lim ((e^(arcsen^2x) *(x^2-arcsen^2x))*x^2)/(-2*((x^4+x^6)^(1/2) -x^2) $ e quindi nuovamente una forma indeterminata 0/0. E' giusto ciò che ho fatto? Da quello che ho ottenuto non riesco a semplificare più niente. Devo applicare dh? Spero che mi potrete aiutare

Buona sera a tutti. Manca ancora un po' a dire il vero, ma stavo iniziando a farmi un'idea per la tesi di laurea triennale in ingegneria elettrica. Vorrei realizzare una tesi in analisi matematica che magari presentasse anche un'applicazione ingegneristica. Ho pensato; ad esempio, a qualcosa sull'equazioni differenziali alle derivate parziali che si ricollegano all'equazione di d'Alembert e quindi alle onde, ma sarei aperto anche ad altre soluzioni. Scrivo, infatti, per avere un vostro parere e ...

L'esercizio proposto è: Sia F(x)= (\int_{0}^{x} arctan(e^t)\, dt )/x Calcolare \lim_{x\rightarrow 0} F , \lim_{x\rightarrow +\infty }F , \lim_{-\infty \rightarrow F} .

Salve, sto cercando di risolvere un limite abbastanza intrinseco almeno per me che sono un novello di queste cose Il limite in questione è $ f(x) = (e^x -cosx -2sinx)/(1+x) $ $ x->0 $ ho provato a sostituire un po' al numeratore utilizzando i limiti notevoli nella variante degli o-piccolo, il che viene: $ f(x) = (1+x+o(x))-(1-1/2x^2+o(x^2))-2(x+o(x)) $ tutto ciò al numeratore.. poi al denominatore non so come continuare a sostituire e di conseguenza non so come continuare nella risoluzione del limite. qualcuno può ...

Ciao a tutti,non riesco a rivolere questi due limiti.(senza utilizzare de l'Hôpital o Taylor perchè non ancora affrontati) $lim_(x -> 3) (x^10 - 3^10)/(x^11 - 3^11)$ forma indeterminata del tipo $[0/0]$ La soluzione è $10/33$. Ho provato a raccogliere o a sostituire brutalmente supponendo di sostituire $3^+$ e $3^-$,ma niente $lim_(x -> 1) (x-4sqrtx+3)/(x^2-1)$ forma indeterminata del tipo $[0/0]$ La soluzione è $-1/2$. Come il primo esercizio essendo ...

Il teorema afferma che se $f ∈ R([a, b] × [c, d])$ e $x → f (x, y)$ è integrabile in $[a, b]$ per ogni $y ∈ [c, d]$, allora la funzione $g(y) = int_(a)^(b) f (x, y) dx$ è integrabile in $[c, d]$ e risulta: $int int_Q f(x,y) dxdy= int_(c)^(d) int_(a)^(b) f(x,y) dxdy$ Per dimostrarlo procede in questo modo: Fissato $ε > 0$, per un teorema esiste una suddivisione $D_ε = D_(ε,1) × D_(ε,2)$ di $Q = [a, b] × [c, d]$ tale che $S(D_(ε),f ) − s(D_(ε),f) < ε$. Per fissare le idee, scriviamo: $D_(ε,1) = {x_(i) : i = 0, . . . , n}, a = x_(0) < x_(1) < · · · < x_(n−1) < x_(n) = b$ $D_(ε,2) = {y_(j) : j = 0, . . . , m}, c = y_(0) < y_(1) < · · · < y_(m−1) < y_(m) = d$ e $A_(i) = [x_(i−1) , x_(i) ]$ ...

Ciao a tutti, qualcuno di voi sa dove trovare online la dimostrazione del teorema ponte tra i limiti di successioni e i limiti di funzioni? Volevo confrontarla cn il mio libro... Ciao e grazie

Ciao ragazzi,sono alle prese con questo esercizio ed ho qualche dubbio nello svolgimento. Posto la traccia: "Studiare la forma differenziale $ w=(e^x(x^2+y^2+x))/sqrt(x^2+y^2)dx + (e^xy)/sqrt(x^2+y^2)dy $. Calcolare la primitiva che si annulla nel punto (0,1). Calcolare l'integrale curvilineo di $ w $ esteso alla curva $ gamma (t) =(cos^3t,sen^3t), t in [0,pi ] $ , orientata nel verso delle t crescenti." Il dominio di questa forma differenziale dovrebbe essere $ A=( AA (x,y)inR^2|(x,y)!= (0,0)) $ dunque è chiusa ma non aperta in A. Posso considerarla aperta in ...

Ciao ragazzi,sono alle prese con questo esercizio ed ho qualche dubbio nello svolgimento. Posto la traccia: "Studiare la forma differenziale $ w=(e^x(x^2+y^2+x))/sqrt(x^2+y^2)dx + (e^xy)/sqrt(x^2+y^2)dy $. Calcolare la primitiva che si annulla nel punto (0,1). Calcolare l'integrale curvilineo di $ w $ esteso alla curva $ gamma (t) =(cos^3t,sen^3t), t in [0,pi ] $ , orientata nel verso delle t crescenti." Il dominio di questa forma differenziale dovrebbe essere $ A=( AA (x,y)inR^2|(x,y)!= (0,0)) $ dunque è chiusa ma non esatta in A. Posso considerarla esatta in ...

Buongiorno, ho un dubbio su una dimostrazione riguardo le caratterizzazioni di limitatezza. "Sia E un insieme non vuoto in uno spazio metrico (X,d). Allora sono equivalenti: 1) E è limitato; 2) E è contenuto in Ur(x) per qualche x $ epsilon $ X , r > 0 3) per ogni x0 $ epsilon $ X, E è contenuto in Ur(x0) per qualche r>0" Ora si richiede la dimostrazione rigorosa dei suddetti punti ma sinceramente non ho ben capito come fare... Avevo pensato che per il punto 2, si poteva ...

Buonasera a tutti . Chiedo scusa, supponiamo che abbiamo X, Y spazi normati e consideriamo un operatore lineare L: X -> Y e dobbiamo considerare la norma di una costante reale c : tale norma è uguale a c in quanto sfruttiamo una delle proprietà che definiscono una norma? Precisamente sfruttiamo la proprietà che ||cS(x)|| = |c|||S(x)|| (ossia che la norma di c per S(x) è uguale al modulo di c per la norma di S(x)), considerando nel nostro caso S(x) = 1 ? Grazie mille, grazie per la gentilissima ...

Salve a tutti, sto studiando l'argomento "superfici" e non riesco a capire da dove salta fuori l'equazione del piano tangente alla superficie S nel punto $P_0$. Più in particolare i termini $x-x_0$, $y-y_0$ e $z-z_0$. Qualcuno può darmi qualche dritta? Grazie.