Studio di una forma differenziale
Ciao ragazzi,sono alle prese con questo esercizio ed ho qualche dubbio nello svolgimento. Posto la traccia:
"Studiare la forma differenziale $ w=(e^x(x^2+y^2+x))/sqrt(x^2+y^2)dx + (e^xy)/sqrt(x^2+y^2)dy $. Calcolare la primitiva che si annulla nel punto (0,1). Calcolare l'integrale curvilineo di $ w $ esteso alla curva $ gamma (t) =(cos^3t,sen^3t), t in [0,pi ] $ , orientata nel verso delle t crescenti."
Il dominio di questa forma differenziale dovrebbe essere $ A=( AA (x,y)inR^2|(x,y)!= (0,0)) $ dunque è chiusa ma non esatta in A. Posso considerarla esatta in $ A_1= (AA (x,y)inR^2|x> 0) $ e $ A_2= (AA (x,y)inR^2|x < 0) $ con $ A=A_1UA_2 $ . Giusto?
A questo punto per calcolare l'integrale curvilineo posso utilizzare il teorema secondo cui se w è esatta allora $ int_gamma w= F(P_1) - F(P_2) $ dove F è una primitiva della forma differenziale.
Calcolo i due punti $P_1$ e $P_2$ inserendo gli estremi dell'intervallo $[0,pi]$ in $gamma$ e ottengo $gamma(0)=(1,0)$ e $gamma(pi)=(-1,0)$. La primitiva F calcolata è $F=e^xsqrt(x^2+y^2)-1$ (questa è la primitiva che si annulla nel punto (0,1)).
A rigor di logica l'esercizio si concluderebbe inserendo semplicemente i valori dei punti calcolati nella primitiva. Mi sorge però un dubbio. I due punti calcolati hanno ascissa uno positiva e l'altro negativa, dunque appartengono a due insiemi diversi (vista la suddivisione che ho fatto all'inizio). C'è dunque qualcosa che mi sfugge o va fatto così l'esercizio?
"Studiare la forma differenziale $ w=(e^x(x^2+y^2+x))/sqrt(x^2+y^2)dx + (e^xy)/sqrt(x^2+y^2)dy $. Calcolare la primitiva che si annulla nel punto (0,1). Calcolare l'integrale curvilineo di $ w $ esteso alla curva $ gamma (t) =(cos^3t,sen^3t), t in [0,pi ] $ , orientata nel verso delle t crescenti."
Il dominio di questa forma differenziale dovrebbe essere $ A=( AA (x,y)inR^2|(x,y)!= (0,0)) $ dunque è chiusa ma non esatta in A. Posso considerarla esatta in $ A_1= (AA (x,y)inR^2|x> 0) $ e $ A_2= (AA (x,y)inR^2|x < 0) $ con $ A=A_1UA_2 $ . Giusto?
A questo punto per calcolare l'integrale curvilineo posso utilizzare il teorema secondo cui se w è esatta allora $ int_gamma w= F(P_1) - F(P_2) $ dove F è una primitiva della forma differenziale.
Calcolo i due punti $P_1$ e $P_2$ inserendo gli estremi dell'intervallo $[0,pi]$ in $gamma$ e ottengo $gamma(0)=(1,0)$ e $gamma(pi)=(-1,0)$. La primitiva F calcolata è $F=e^xsqrt(x^2+y^2)-1$ (questa è la primitiva che si annulla nel punto (0,1)).
A rigor di logica l'esercizio si concluderebbe inserendo semplicemente i valori dei punti calcolati nella primitiva. Mi sorge però un dubbio. I due punti calcolati hanno ascissa uno positiva e l'altro negativa, dunque appartengono a due insiemi diversi (vista la suddivisione che ho fatto all'inizio). C'è dunque qualcosa che mi sfugge o va fatto così l'esercizio?
Risposte
Perdonami, non ho presente la definizione di forma differenziale aperta, potresti scrivermela?
Comunque, non è un problema la differenza di segno delle ascisse, la forma differenziale è esatta su tutto il suo dominio A, come hai dimostrato calcolandone una primitiva differenziabile su tutto A, e siccome la curva $gamma$ non passa per (0,0), ovvero è tutta contenuta in A, non ci sono problemi.
Se non sei convinto puoi provare a calcolare esplicitamente l'integrale lungo la curva, usando la definizione. Io certamente non ne ho voglia, vedi tu
Comunque, non è un problema la differenza di segno delle ascisse, la forma differenziale è esatta su tutto il suo dominio A, come hai dimostrato calcolandone una primitiva differenziabile su tutto A, e siccome la curva $gamma$ non passa per (0,0), ovvero è tutta contenuta in A, non ci sono problemi.
Se non sei convinto puoi provare a calcolare esplicitamente l'integrale lungo la curva, usando la definizione. Io certamente non ne ho voglia, vedi tu
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