Dubbi dimostrazione teorema integrali doppi riduzione su rettangoli

[Duj91]

Il teorema afferma che se $f ∈ R([a, b] × [c, d])$ e $x → f (x, y)$ è integrabile in $[a, b]$ per ogni $y ∈ [c, d]$, allora la funzione $g(y) = int_(a)^(b) f (x, y) dx$ è integrabile in $[c, d]$ e risulta:
$int int_Q f(x,y) dxdy= int_(c)^(d) int_(a)^(b) f(x,y) dxdy$

Per dimostrarlo procede in questo modo:

Fissato $ε > 0$, per un teorema esiste una suddivisione $D_ε = D_(ε,1) × D_(ε,2)$ di $Q = [a, b] × [c, d]$ tale che $S(D_(ε),f ) − s(D_(ε),f) < ε$. Per fissare le idee, scriviamo:
$D_(ε,1) = {x_(i) : i = 0, . . . , n}, a = x_(0) < x_(1) < · · · < x_(n−1) < x_(n) = b$
$D_(ε,2) = {y_(j) : j = 0, . . . , m}, c = y_(0) < y_(1) < · · · < y_(m−1) < y_(m) = d$
e
$A_(i) = [x_(i−1) , x_(i) ]$ $i = 1, . . . , n$
$B_(j) = [y_(j−1) , y_(j) ]$ $j = 1, . . . , m$

Si ha:

$S (D_(ε,2),g) = sum_(j =1)^(m) |B_j|*( Sup_(yinB_(j)){g}) = sum_(j =1)^(m) |B_j|*( Sup_(yinB_(j)){int_(a)^(b)f(x,y)dx})= sum_(j =1)^(m) |B_j|*( Sup_(yinB_(j)){sum_(i=1)^(n) int_(A_(i))f(x,y)dx})<=sum_(j =1)^(m) |B_j|*( Sup_(yinB_(j)){sum_(i=1)^(n)|A_(i)|*Sup_(x in A_(i)){f(x,y)}})$
(*)$<=sum_(j=1)^(m) sum_(i=1)^(n) |B_j||A_i| Sup_(yinB_(j)){Sup_(x in A_(i)) {f(x,y)}}$
(*)$= sum_(j=1)^(m) sum_(i=1)^(n) |A_iXB_j| Sup_(A_(i)XB_(j)){f(x,y)}=S(D,f)$
Si avrà analogamente che $s(D_(ε,2) , g) ≥ s(D_(ε) , f )$ e quindi $S (D_(ε,2) , g) − s(D_(ε,2) , g) < ε$ e $g$ è integrabile.

Il mio dubbio sta nei punti indicati dai due (*). Secondo quali proprietà fanno quei passaggi?

[Duj91]

Il secondo asterisco mi è forse più chiaro. Risulta infatti che $|B_j||A_i|=|A_i||B_j|=(x_i-x_(i-1))(y_j-y_(j-1))=|A_iXB_j|$ anche se non capisco secondo quale logica stretta afferma che l'estremo superiore rispetto ad un intervallo sulle ascisse dell'estremo superiore rispetto ad un intervallo sulle ordinate di una funzione si possa tradurre in estremo superiore rispetto ad un dominio bidimensionale della medesima funzione.
Rimane comunque il dubbio sul primo asterisco.

[Duj91]

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[Duj91]

Come al solito nessuna risposta?

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