Differenziabilità
Sia $Omega sube R^2 $ , $Omega$ aperto e $f: Omega rarr R$ tale che $ x_0 in Omega$ e esista $grad f (x_0) = (2,3)$.
Possiamo affermare che:
$lim_(h -> 0) (f(x_0+h)- f(x_0)-2h_1 -3h_2)/absabs(h) = 0$ ?
dove $h=(h_1 , h_2) in R^2$
Soluzione:
Affermare che esista il gradiente nel punto $x_0$ equivale ad affermare che $f$ è differenziabile in quel punto, il che vuol dire che esiste un'applicazione lineare (il gradiente, appunto) da $R^2$ a $R$ tale che:
$lim_(h -> 0) (f(x_0+h)- f(x_0)-grad f(x_0)(h))/absabs(h) = 0$
e, guarda caso, applicando il gradiente ad $h$ si ottiene:
$grad f (x_o)(h) = (2,3) ( ( h_1 ),( h_2 ) ) = 2h_1+3h_2 $
Il che ci riporta al limite precedente.
E' corretto il ragionamento? O c'è qualcosa di fondamentale di cui non ho tenuto conto?
Possiamo affermare che:
$lim_(h -> 0) (f(x_0+h)- f(x_0)-2h_1 -3h_2)/absabs(h) = 0$ ?
dove $h=(h_1 , h_2) in R^2$
Soluzione:
Affermare che esista il gradiente nel punto $x_0$ equivale ad affermare che $f$ è differenziabile in quel punto, il che vuol dire che esiste un'applicazione lineare (il gradiente, appunto) da $R^2$ a $R$ tale che:
$lim_(h -> 0) (f(x_0+h)- f(x_0)-grad f(x_0)(h))/absabs(h) = 0$
e, guarda caso, applicando il gradiente ad $h$ si ottiene:
$grad f (x_o)(h) = (2,3) ( ( h_1 ),( h_2 ) ) = 2h_1+3h_2 $
Il che ci riporta al limite precedente.
E' corretto il ragionamento? O c'è qualcosa di fondamentale di cui non ho tenuto conto?
Risposte
Tutto corretto, salvo un dettaglio:
Dipende dalle definizioni che uno usa, perché esistono funzioni che sono derivabili lungo due direzioni ortogonali ma non sono differenziabili. Esempio: \(f(x, y)=\begin{cases} 2x, & y=0 \\ 3y, &x= 0\\ 0, & xy\ne 0 \end{cases}\), che tra l'altro verifica \(\partial_x f(0,0)=2, \partial_y f (0,0)=3\).
Qualcuno direbbe che per una funzione così fatta "esiste il gradiente", qualcun altro no, in fondo non è una cosa molto importante (una volta passato l'esame).
"singularity":
Affermare che esista il gradiente nel punto $x_0$ equivale ad affermare che $f$ è differenziabile in quel punto
Dipende dalle definizioni che uno usa, perché esistono funzioni che sono derivabili lungo due direzioni ortogonali ma non sono differenziabili. Esempio: \(f(x, y)=\begin{cases} 2x, & y=0 \\ 3y, &x= 0\\ 0, & xy\ne 0 \end{cases}\), che tra l'altro verifica \(\partial_x f(0,0)=2, \partial_y f (0,0)=3\).
Qualcuno direbbe che per una funzione così fatta "esiste il gradiente", qualcun altro no, in fondo non è una cosa molto importante (una volta passato l'esame).
"dissonance":
...esistono funzioni che sono derivabili lungo due direzioni ortogonali ma non sono differenziabili..
Se definisco il gradiente per una funzione differenziabile, allora è lecito assumere che esista il differenziale, ma se il gradiente fosse definito semplicemente per una funzione derivabile parzialmente in tutte le direzioni in generale ciò non basterebbe ad assicurarmi la differenziabilità della funzione...
Quindi, sotto le ipotesi precedenti, l'esistenza del gradiente non basta per dire che esiste il differenziale?
Si, sono cose standard che si trovano sui libri di analisi 2 di solito. Esistono funzioni derivabili lungo tutte le direzioni ma non differenziabili. Per avere la differenziabilità occorre richiedere che le derivate siano continue in un intorno del punto interessato.
Ok, grazie.
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