Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao, amici! Vorrei chiedere se la mia interpretazione di un passo su alcune permutazioni del Sernesi, Geometria I, è corretta. Nella dimostrazione della validità dello sviluppo per righe del determinante (p. 82 dell'ed. del 2000 Bollati Boringhieri) l'autore considera i termini della sommatoria \(\sum_{p\in\sigma_n}\epsilon(p)a_{1p(1)}...a_{np(n)}=\det(A)\) in cui, per un $j$ fissato, compare $a_{1j}$, che sono della forma \(\epsilon(p)a_{1j}a_{2p(2)}...a_{np(n)}\) dove ...

Vorrei alcune conferme sui seguenti esercizi: 1) Qual è il campo di spezzamento di $p(x) = x^2 + 3 \in QQ[x]$ ? $x^2 + 3 = 0$ $\Rightarrow$ $x = +- i sqrt(3)$ sicché il campo di spezzamento di $p$ dovrebbe essere $QQ(i sqrt(3))$. Inoltre posso dire che $QQ(sqrt(3), i) \ne QQ(i sqrt(3))$; infatti $sqrt(3) \notin QQ(i sqrt(3))$. Corretto? 2) Trovare il polinomio minimo di $sqrt(15)$ su $QQ( sqrt(2) , sqrt(5) , sqrt(6) )$. A me sembra sia $p(t) = t - sqrt(15)$. Infatti $sqrt(2 * 6 * 5) = 2 sqrt( 15 ) \in QQ( sqrt(2) , sqrt(5) , sqrt(6) ) $. Corretto? Grazie.

Su Q si considerino l'usuale addizione $+$ e la moltiplicazione $°$ definita ponendo, per ogni x e y in Q: $x°y=3/4x*y$ Si dimostri che $Q(+,°)$ è isomorfo al campo $Q(+,*)$ con le usuali operazioni di somma e prodotto Non riesco a trovare una definizione di isomorfismo tra campi quella di cui dispongo è la seguente: un isomorfismo da $Q(+,°)$ in $Q(+,*)$ è una funzione $f$ tale che: $f(x°y)=f(x)*f(y)$ per ogni ...

Siano $p$ e $q$ primi , si provi che, escluso il caso $p=2$ e $q=3$ il polinomio $x^4+qx+p=0$ è irriducibile in $Q(x)$ dimostro prima che il polinomio non sia fattorizzabile in termini lineari; il teorema delle radici razionali ci dice che le possibili radici razionali del polinomio sono i divisori di +1,-1,p,-p, ed essendo $p$ primo le radici sono da ricercare tra +1,-1,p,-p escluse banalmente ...

Ciao a tutti, oggi ho dato un esame e tra i vari esercizi c'era questa formula da dimostrare: qualcuno può dirmi se ho proceduto correttamente? Grazie

ciao a tutti, sono un laureando in matematica ed avrei bisogno di un aiuto..qualcuno saprebbe dimostrarmi che il gruppo alterno A5 è generato dalle permutazioni (1,2,3,4,5) e (2,3)(4,5)?? non credo sia niente di difficile, però la mia tesi è in geometria e non ho tanto allenamento con le permutazioni..grazie in anticipo!!

Ciao a tutti ho un dubbio sull'estrazione delle radici di indice pari. La definizione dice che: la radice quadrata di un numero reale "a" positivo oppure nullo è quel numero reale "b" positivo o nullo, il cui quadrato è uguale ad a. Il mio problema è il seguente: se io ho √4 ottengo 2^2 =4 ma anche (-2)^2 =4. Perchè considerare il valore opposto della radice principale (in questo caso -2) è errato? E poi perchè invece nelle equazioni di secondo grando quando ho ad esempio: x^2 - 4 = 0 ...

Salve , dire che l'argomento di un numero complesso è definito a meno di multipli di $2\pi$ che significa ? perchè sto un po in confusione ! vi ringrazio

Sto un po' rivedendo logica ed altro, vorrei sapere come porre in modo corretto questo esercizio. Definire e dimostrare una proprietà (relazione) binaria $p(x,y)$ sui numeri naturali tale che valga: \( \text{t} ::= \forall x \in \mathbb{N}.\exists y \in \mathbb{N}\ | \ p(x,y)\) \( \text{q} ::= \not\ \exists y \in \mathbb{N}.\forall x \in \mathbb{N}\ | \ p(x,y)\) Definisco $p(x,y) :::= x < y$ come una relazione d'ordine. I passi corretti da fare sono: 1. ...

Ragazzi aiutatemi a risolvere questo esercizio, proprio non capisco come devo usare l'induzione Sia ${Fn}$ la successione dei numeri di fibonacci, dimostrare tramite il procedimento per induzione che per ogni intero positivo $n$ risulta: $F1^2+F2^2+...+Fn^2=Fn*Fn+1$ Grazie mille!

Un simpatico esercizio da "Universal Algebra" di Burris e Sankappanavar: Find two algebras $A_1$ e $A_2$ such that neither can be embedded in $A_1 xx A_2$ Mi viene subito da escludere gruppi,anelli etc insomma tutte le algebre "normali". Penso che il nocciolo della questione stia nel fatto che ne $A_1$ ne $A_2$ devono possedere una sottoalgebra "triviale" altrimenti l'embedding risulta immediato. Non riesco a pensare a nulla di abbastanza ...

Salve a tutti, mi domandavo se e come sono definite le operazioni tra insiemi di coppie ordinate, cioè tra relazioni! Le stesse per gli insiemi di oggetti qualsiasi? O vi è una condizione che devono soddisfare? Ringrazio anticipatamente! Cordiali saluti P.S.=Online ho trovato questo ma non saprei!!! Leggo qui che le relazioni devono essere omogenee a priori, ma in che senso matematicamente parlando??

Sia $p$ un numero primo, dimostrare per induzione che $p|n^p -n$. Sia $p=3$ e $n=1$, allora $3|1^3 -1=0$ Posto che $3|n^3 -n$ per $AAn in NN$ allora deve essere vera anche per $n+1$: da $n^3-n=n(n^2 -1)$ allora $(n+1)[(n+1)^2 -1]=(n+1)(n^2 +2n+1-1)=(n+1)(n^2 +2n)$ e più in generale $n^p -n=n(n^(p-1) -1)$ allora $(n+1)[(n+1)^(p-1) -1]$ E' corretto?

Salve ragazzi, torno oggi con un nuovo quesito e vi ringrazio già da ora per la vostra pazienza. Assodato che la risoluzione di una congruenza avviene tramite la risoluzione dell'equazione diofantea $ax+by=c$ mi chiedevo, come faccio ad ottenere le altre soluzioni? Esiste un modo semplice per farlo? Grazie!

Ciao a tutti! Ho questo esercizio da fare, ma non ho capito molto bene come partire, dunque: Sia $I$ l'ideale generato da $(x^4-4,x^4-x^2-2)$ Dire se in $Z[x]$ è principale, primo, massimale. Poichè $Z[x]$ non è PID, e $x^4-x^2-2$ non è multiplo di $x^4-4$, l'ideale è uguale all'ideale generato dal loro prodotto, giusto? Quindi è principale, ma non primo e non massimale. è il ragionamento corretto?

Ciao! Ho un esercizio da risolvere che non mi riesce, o per lo meno mi lascia qualche dubbio. Devo dimostrare che se $A$ è un dominio d'integrità, allora due elementi $a,b\in A$ sono associati se e solo se esiste $r\in A$ invertibile tale che $ar=b$. Mi aiutate ? Grazie

Salve, ho un paio di esercizi e vorrei porvi alcune domande di chiarimento su di essi, spero possiate cortesemente aiutarmi. Esercizio 1: Dimostrare per induzione che \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \) risulta: \(\displaystyle 3^n < (n+2)! \) svolgimento: 1) La disequazione è vera per \(\displaystyle n= 0 \): \(\displaystyle 3^0 < (0+2)! \Rightarrow 1

ragazzi in attesa dell'inizio delle lezioni del secondo anno sto cominciando a vedere qualcosa del programma di algebra(nella mia facoltà la si fa la secondo anno). volevo chiedervi una cosa che nelle slide su cui sto studiando è "lasciata al lettore":l'ordine o periodo di un elemento "a" dato un gruppo additivo ad esempio G,+ è il minimo intero positivo n se esiste tale che na=0,giusto? perchè nell'esempio mi riporta un gruppo moltiplicativo G,* e la legge è a^n=1...

Ciao ragazzi, ho nuovamente bisogno del vostro aiuto... Sto cercando di capire come ricavare la classe opposta in questo esercizio: $2459^547(mod 10)$ potete aiutarmi in modo "semplice" a risolvere il quesito? Ecco il mio ragionamento: ho diviso $2459$ per $10$ ottenendo così $9^547(mod 10)$ essendo $9$ e $10$ coprimi ho calcolato il $\phi$, ottenendo: $phi(10) =4$ da ciò so che (per le proprietà delle congruenze?) ...

ciao a tutti, mi servirebbero spiegazioni riguardo alcuni esercizi di matematica discreta. 1) Si consideri il gruppo Z45 = Z=45Z degli interi modulo 45. (a) Disegnare il diagramma di Hasse del reticolo dei sottogruppi di Z45. (b) Stabilire quali sono gli insiemi {H;K} di sottogruppi non banali di Z45 tali che H ∩ K = {0} 2) Si consideri il sottoinsieme S = {a+b sqrt(-5) |a,b ∈ Z} del campo complesso C. (a) Provare che S e un sottoanello di C (b) ...