Ideale di Z[x]

[la.spina.simone]

Ciao a tutti!
Ho questo esercizio da fare, ma non ho capito molto bene come partire, dunque:
Sia $I$ l'ideale generato da $(x^4-4,x^4-x^2-2)$
Dire se in $Z[x]$ è principale, primo, massimale.
Poichè $Z[x]$ non è PID, e $x^4-x^2-2$ non è multiplo di $x^4-4$, l'ideale è uguale all'ideale generato dal loro prodotto, giusto?
Quindi è principale, ma non primo e non massimale.
è il ragionamento corretto?

[Lorin1]

Per quel che ricordo io bisognava fare la divisione tra i due polinomi, cercando il loro massimo comun divisore...e poi si ragionava cercando di rispondere all'esercizio...

[la.spina.simone]

Si, ma il problema è che $Z[x]$ non è euclideo e neanche pid... quindi non posso fare la divisione o l'MCD.

[Key918]

Poichè Z[x] è un UFD puoi sfruttare questa proposizione:

"Sia R un UFD. Allora ogni coppia di elementi non nulli di R ammette un massimo comun divisore."

In questo caso puoi dimostrare che l'MCD, se è un polinomio allora l'ideale è generato proprio da quel polinomio.

Per verificare se è primo o massimale il modo più semplice è usare il teorema di corrispondenza e quindi verificare se $(Z[x])/I$ quoziente con $I=(f)$ con f generatore dell'ideale è un dominio o un campo.

[Martino]

"Key918":In questo caso puoi dimostrare che l'MCD, se è un polinomio allora l'ideale è generato proprio da quel polinomio.

Piano, non so bene cosa vuoi dire, ma per esempio l´ideale [tex](2,X)[/tex] di [tex]\mathbb{Z}[X][/tex] non e´ principale (cf. qui) e il MCD di [tex]2[/tex] e [tex]X[/tex] e´ 1. Forse vuoi dire che se l´algoritmo di Euclide termina a coefficienti in [tex]\mathbb{Z}[/tex] allora il MCD e´ un generatore, questo e´ vero.

Una buona idea e´ scomporre i due polinomi. Trovi [tex]P(X) = X^4-4 = (X^2-2)(X^2+2)[/tex] e [tex]Q(X) = X^4-X^2-2 = (X^2-2)(X^2+1)[/tex]. Ora potresti provare a dimostrare che [tex]I[/tex] e´ principale generato dal fattore comune [tex]X^2-2[/tex] (e´ molto facile adesso). Un modo piu´ "algoritmico" e´ applicare l´algoritmo di Euclide.