Esercizio sull'induzione

[gundamrx91-votailprof]

Sia $p$ un numero primo, dimostrare per induzione che $p|n^p -n$.

Sia $p=3$ e $n=1$, allora $3|1^3 -1=0$

Posto che $3|n^3 -n$ per $AAn in NN$ allora deve essere vera anche per $n+1$:

da $n^3-n=n(n^2 -1)$ allora $(n+1)[(n+1)^2 -1]=(n+1)(n^2 +2n+1-1)=(n+1)(n^2 +2n)$

e più in generale

$n^p -n=n(n^(p-1) -1)$ allora $(n+1)[(n+1)^(p-1) -1]$

E' corretto?

[Gi81]

No,non va bene. Devi lasciare $p$ generico ma fissato, e fare variare $n$ in $NN$.

"GundamRX91":Sia $p$ un numero primo, dimostrare per induzione che $p|n^p -n$.

Passo Base: $n=1$. Dimostrazione: immediata

Passo induttivo:

[*:1firtmv9]ipotesi induttiva: $p |( n^p -n )$[/*:m:1firtmv9]
[*:1firtmv9]tesi induttiva: $p |[ (n+1)^p -(n+1) ]$[/*:m:1firtmv9][/list:u:1firtmv9]

Tieni presente che \[ (n+1)^p=\sum_{i=0}^p \binom{p}{i} n^i\]

[gundamrx91-votailprof]

E' sufficiente, perché pensavo fosse troppo semplice in questo modo?

[gundamrx91-votailprof]

Scusate, ma ho qualche difficoltà a "vedere" questo esercizio...
Dimostrare per induzione che [tex]n! \ge 2^{n-1}[/tex]

Base induttiva: [tex]n=1[/tex] allora [tex]1!=1 \ge 2^0=1[/tex], quindi è verificato

Ora posto vero per un generico [tex]k=n[/tex], da cui [tex]k! \ge 2^{k-1}[/tex], allora deve essere vero anche per [tex]k+1[/tex] (ipotesi induttiva) da cui la tesi: [tex](k+1)! \ge 2^k[/tex]

Al momento sono arrivato che essendo [tex](k+1)!=k!(k+1)[/tex] allora per l'ipotesi induttiva so che [tex]k! \ge 2{k-1}[/tex], quindi [tex]k!(k+1) \ge (2^{k-1})(k+1)[/tex], da cui però non so schiodarmi

Avete qualche suggerimento? Grazie

[laura1232]

semplice, poichè $k>=1$ allora $k+1>=2$ da cui $(k+1)2^{k-1}>=2 cdot 2^{k-1}=2^k$

[gundamrx91-votailprof]

Grazie