Operazioni tra insiemi di coppie ordinate, o relazioni!!
Salve a tutti,
mi domandavo se e come sono definite le operazioni tra insiemi di coppie ordinate, cioè tra relazioni! Le stesse per gli insiemi di oggetti qualsiasi? O vi è una condizione che devono soddisfare?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
P.S.=Online ho trovato questo ma non saprei!!! Leggo qui che le relazioni devono essere omogenee a priori, ma in che senso matematicamente parlando??
mi domandavo se e come sono definite le operazioni tra insiemi di coppie ordinate, cioè tra relazioni! Le stesse per gli insiemi di oggetti qualsiasi? O vi è una condizione che devono soddisfare?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
P.S.=Online ho trovato questo ma non saprei!!! Leggo qui che le relazioni devono essere omogenee a priori, ma in che senso matematicamente parlando??
Risposte
ciao garnak, a meno dinon aver interpretato male la domanda, si definisce l'operazione sempre allo stesso modo.
Se $G$ è un insieme, un'operazione interna a $G$ è un'applicazione del tipo
$* : G\timesG->G$
esempio $G=NN$ l'operazione somma è definita come $+ : NN\timesNN->NN$ , $AA (a,b) in NN\timesNN : (a,b)->a+b$
Possiamo definire operazioni esterne :
ad esempio prendi l'operazione di prodotto di vettore per scalare. Dato $K$ un insieme, che supporremo avere una struttura di campo, $V$ un insieme
$* : V\timesK -> V , AA v in V , k in K : (v,k)->vk$
Analogamente si può definire un'operazione su un prodotto cartesiano , $G_1\timesG_2$
e sarà del tipo $* : (G_1\timesG_2)\times(G_1\timesG_2)->G_1\timesG_2$
Se $G$ è un insieme, un'operazione interna a $G$ è un'applicazione del tipo
$* : G\timesG->G$
esempio $G=NN$ l'operazione somma è definita come $+ : NN\timesNN->NN$ , $AA (a,b) in NN\timesNN : (a,b)->a+b$
Possiamo definire operazioni esterne :
ad esempio prendi l'operazione di prodotto di vettore per scalare. Dato $K$ un insieme, che supporremo avere una struttura di campo, $V$ un insieme
$* : V\timesK -> V , AA v in V , k in K : (v,k)->vk$
Analogamente si può definire un'operazione su un prodotto cartesiano , $G_1\timesG_2$
e sarà del tipo $* : (G_1\timesG_2)\times(G_1\timesG_2)->G_1\timesG_2$
Salve Kashaman,
conosco la def. di operazione binaria interna, o esterna, ma quello che volevo era una sorta di definizione dell'insieme unione, o intersezione o differenza, di due, o più, relazioni..
Cordiali saluti
"Kashaman":
ciao garnak, a meno dinon aver interpretato male la domanda, si definisce l'operazione sempre allo stesso modo.
Se $G$ è un insieme, un'operazione interna a $G$ è un'applicazione del tipo
$* : G\timesG->G$
esempio $G=NN$ l'operazione somma è definita come $+ : NN\timesNN->NN$ , $AA (a,b) in NN\timesNN : (a,b)->a+b$
Possiamo definire operazioni esterne :
ad esempio prendi l'operazione di prodotto di vettore per scalare. Dato $K$ un insieme, che supporremo avere una struttura di campo, $V$ un insieme
$* : V\timesK -> V , AA v in V , k in K : (v,k)->vk$
Analogamente si può definire un'operazione su un prodotto cartesiano , $G_1\timesG_2$
e sarà del tipo $* : (G_1\timesG_2)\times(G_1\timesG_2)->G_1\timesG_2$
conosco la def. di operazione binaria interna, o esterna, ma quello che volevo era una sorta di definizione dell'insieme unione, o intersezione o differenza, di due, o più, relazioni..
Cordiali saluti
up
Garnak, pero´ potresti essere un po´ piu´ chiaro nella formulazione della domanda. Io prima di leggere il tuo secondo intervento ti avrei sicuramente risposto come ha fatto Kashaman.
Date due relazioni R e S su uno stesso insieme X (e´ questa la condizione che tu chiami di "omogeneita´"), cioe´ due sottoinsiemi di [tex]X \times X[/tex], la relazione intersezione e´ definita come l´intersezione insiemistica tra R e S, la relazione unione e´ definita come l´unione insiemistica tra R e S, la relazione differenza tra R e S e´ definita come la differenza insiemistica tra R e S. Questo vale anche se R e S hanno lo stesso dominio X e lo stesso codominio Y (cioe´ se [tex]R,S \subseteq X \times Y[/tex]).
Date due relazioni R e S su uno stesso insieme X (e´ questa la condizione che tu chiami di "omogeneita´"), cioe´ due sottoinsiemi di [tex]X \times X[/tex], la relazione intersezione e´ definita come l´intersezione insiemistica tra R e S, la relazione unione e´ definita come l´unione insiemistica tra R e S, la relazione differenza tra R e S e´ definita come la differenza insiemistica tra R e S. Questo vale anche se R e S hanno lo stesso dominio X e lo stesso codominio Y (cioe´ se [tex]R,S \subseteq X \times Y[/tex]).
Salve Martino,
pardon, comunque ti ringrazio della delucidazione in merito....
Guarda non vorrei sbagliare, stesso dicasi anche per le funzioni?
Cordiali saluti
"Martino":
Garnak, pero´ potresti essere un po´ piu´ chiaro nella formulazione della domanda. Io prima di leggere il tuo secondo intervento ti avrei sicuramente risposto come ha fatto Kashaman.
Date due relazioni R e S su uno stesso insieme X (e´ questa la condizione che tu chiami di "omogeneita´"), cioe´ due sottoinsiemi di [tex]X \times X[/tex], la relazione intersezione e´ definita come l´intersezione insiemistica tra R e S, la relazione unione e´ definita come l´unione insiemistica tra R e S, la relazione differenza tra R e S e´ definita come la differenza insiemistica tra R e S. Questo vale anche se R e S hanno lo stesso dominio X e lo stesso codominio Y (cioe´ se [tex]R,S \subseteq X \times Y[/tex]).
pardon, comunque ti ringrazio della delucidazione in merito....
Guarda non vorrei sbagliare, stesso dicasi anche per le funzioni?
Cordiali saluti
oso rispondere al posto di Martino, che prego vivamente di correggermi se c'è la necessita. Tuttavia garnak direi di sì, essendo una funzione , una particolare relazione.
Certo che si´, confermo quanto detto da Kashaman. Garnak sembri pensare che la notazione matematica sia quanto di piu´ incontrollato si possa immaginare. Non e´ cosi´: e´ stata creata dall´uomo, quindi e´ il piu´ possibile intuitiva e "canonica". In altre parole, deduzioni ragionevoli che fai sulla notazione sono ragionevolmente le stesse che fanno tutti gli altri. Nel caso specifico, se un´intersezione tra due insiemi sai cos´e´, e se devi definire un´intersezione tra due cose che comunque sono insiemi, e´ molto ragionevole che si debba considerare l´intersezione che conosciamo tutti.
Senza offesa, spero che ora non chiederai "stesso dicasi anche per le funzioni iniettive?".
Senza offesa, spero che ora non chiederai "stesso dicasi anche per le funzioni iniettive?".
Salve Kashaman,
bhè era ovvio, mi pare!! Ma forse mi sono spiegato, ancora una volta, un pò troppo male... e chiedo veramente scusa!! E rispondo anche a Martino:
quello che volevo scrivere era: "nel caso delle relazioni l'unione di due relazioni è una relazione... ma dicasi lo stesso di due funzioni? Cioè l'unione di due funzioni è, ovviamente, una relazione ma quando è una funzione?? Ecco qui il mio "dicasi anche per le funzioni"!!
Scusatemi ancora una volta!!
Cordiali saluti
"Kashaman":
oso rispondere al posto di Martino, che prego vivamente di correggermi se c'è la necessita. Tuttavia garnak direi di sì, essendo una funzione , una particolare relazione.
bhè era ovvio, mi pare!! Ma forse mi sono spiegato, ancora una volta, un pò troppo male... e chiedo veramente scusa!! E rispondo anche a Martino:
"Martino":
Certo che si´, confermo quanto detto da Kashaman. Garnak sembri pensare che la notazione matematica sia quanto di piu´ incontrollato si possa immaginare. Non e´ cosi´: e´ stata creata dall´uomo, quindi e´ il piu´ possibile intuitiva e "canonica". In altre parole, deduzioni ragionevoli che fai sulla notazione sono ragionevolmente le stesse che fanno tutti gli altri. Nel caso specifico, se un´intersezione tra due insiemi sai cos´e´, e se devi definire un´intersezione tra due cose che comunque sono insiemi, e´ molto ragionevole che si debba considerare l´intersezione che conosciamo tutti.
Senza offesa, spero che ora non chiederai "stesso dicasi anche per le funzioni iniettive?".
quello che volevo scrivere era: "nel caso delle relazioni l'unione di due relazioni è una relazione... ma dicasi lo stesso di due funzioni? Cioè l'unione di due funzioni è, ovviamente, una relazione ma quando è una funzione?? Ecco qui il mio "dicasi anche per le funzioni"!!
Scusatemi ancora una volta!!
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Cioè l'unione di due funzioni è, ovviamente, una relazione ma quando è una funzione??
Siano $f:A->B$ e $g:C->D$ funzioni. Se $f(x)=g(x)$ per ogni $x \in A \cap C$ allora $(f \cup g): A \cup C -> B \cup D$ definita da
$(f \cup g)(x) = f(x)$ se $x \in A$
$(f \cup g)(x) = g(x)$ se $x \in C$
è una funzione ben definita.
Salve a tutti,
quindi la condizione sufficiente è che $f(x)=g(x)$ per ogni $x \in A \cap C$, però $f(x)$ e $g(x)$ non sono omogenee?? Come mai? Non è una condizione sufficiente?
Cordiali saluti
quindi la condizione sufficiente è che $f(x)=g(x)$ per ogni $x \in A \cap C$, però $f(x)$ e $g(x)$ non sono omogenee?? Come mai? Non è una condizione sufficiente?
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":Scusami! Non avevo capito la domanda. In effetti avrei dovuto immaginarlo che intendevi questo.
quello che volevo scrivere era: "nel caso delle relazioni l'unione di due relazioni è una relazione... ma dicasi lo stesso di due funzioni? Cioè l'unione di due funzioni è, ovviamente, una relazione ma quando è una funzione?? Ecco qui il mio "dicasi anche per le funzioni"!!
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