Z/nZ dubbi
Ciao a tutti.
Ho dei dubbi su queto esercizi (e tutti quelli di questo genere). L'ho riportato in questa sezione ma pare che alcune facoltà mettano questo tipo di esercizi in analisi. Spero comunque di non aver sbagliato
Allora, considero Z165=Z/165Z dgli interi modulo 165. Determinare gli elementi di ordine 6 e di ordine 5 di Z165. Trovare i sottogruppi di Z165 e i generatori.
Ho fatto così, ma credo sia una scemenza.
Allora partiamo dall'ordine 5.
Pongo 5x=0 mod 165
Quindi uno è sicuramente 33, quindi gli elementi di ordine 5 dovrebbero essere (33 66 99 132)
I generatori gli interi da 1 a 134 primi con 135 (secondo definizione) Ma non sono sicura... Intende tutti i numeri primi da 1 a 135?
Mentre per trovare i sottogruppi di Z135 sarebbero dati dai generatori come primo gruppo?
a parte la certezza di aver scritto l'assurdo... Ma non riesco proprio a capire questi esercizi
Ho dei dubbi su queto esercizi (e tutti quelli di questo genere). L'ho riportato in questa sezione ma pare che alcune facoltà mettano questo tipo di esercizi in analisi. Spero comunque di non aver sbagliato
Allora, considero Z165=Z/165Z dgli interi modulo 165. Determinare gli elementi di ordine 6 e di ordine 5 di Z165. Trovare i sottogruppi di Z165 e i generatori.
Ho fatto così, ma credo sia una scemenza.
Allora partiamo dall'ordine 5.
Pongo 5x=0 mod 165
Quindi uno è sicuramente 33, quindi gli elementi di ordine 5 dovrebbero essere (33 66 99 132)
I generatori gli interi da 1 a 134 primi con 135 (secondo definizione) Ma non sono sicura... Intende tutti i numeri primi da 1 a 135?
Mentre per trovare i sottogruppi di Z135 sarebbero dati dai generatori come primo gruppo?
a parte la certezza di aver scritto l'assurdo... Ma non riesco proprio a capire questi esercizi
Risposte
Analisi sicuramente non può essere, e nemmeno algebra lineare o geometria. La sezione giusta è Algebra.
Tu vuoi studiare una proprietà particolare dei gruppi del tipo $ZZ_n$. Sai almeno cos'è un gruppo?!
Tu vuoi studiare una proprietà particolare dei gruppi del tipo $ZZ_n$. Sai almeno cos'è un gruppo?!
Purtroppo da noi è un esercizio riportato in geometria, in un'altra facoltà dello stesso ateneo in Analisi 2. Per questo avevo insicurezza sul dove scriverlo.
Riguardo le definizioni, il problema non sussiste, anche se poco chiare (dispense provenienti direttamente dal professore e purtroppo lasciano molta difficoltà), sono ugualmente capibili (ammetto grazie anche a wikipedia.
Il problema mi resta su questi tipi di esercizi, e su procedimenti nei quali non riesco proprio ad entrare.
[xdom="Seneca"]Come fatto notare da Lorin, il problema è algebrico. Sposto la discussione nella giusta sezione.[/xdom]
Riguardo le definizioni, il problema non sussiste, anche se poco chiare (dispense provenienti direttamente dal professore e purtroppo lasciano molta difficoltà), sono ugualmente capibili (ammetto grazie anche a wikipedia.
Il problema mi resta su questi tipi di esercizi, e su procedimenti nei quali non riesco proprio ad entrare.
[xdom="Seneca"]Come fatto notare da Lorin, il problema è algebrico. Sposto la discussione nella giusta sezione.[/xdom]
Allora , partiamo dall'inizio.
Tu hai da considerare il gruppo additivo $(ZZ_165,+)$
e devi trovare tutti gli elementi di ordine $5$.
L'ordine di un elemento, in generale(e in particolare in notazione additiva), è $min{k>0|ng=0}$.
Cioè è il più piccolo intero strettamente positivo tale che $ng=0$ con $g in G$ (ove $G$ è un gruppo ).
Ora come certamente saprai , parlando dell'esercizio
$ZZ_165$ additivamente è un gruppo ed è generato da $[1]_165$,quindi il nostro gruppo è ciclico, ma non solo.
Quanti generatori ha $ZZ_165$? bella domanda.
Per capire ciò , bisogna dire che un elemento genera a sua volta $ZZ_165$ se ha ordine $165$.
Esiste una particolare formula (in spoiler,il caso generale)
che riadatto al caso di $ZZ_n$ che ci permette, noto un certo $[k]_n$ ,di calcolare il suo ordine
la formula è questa :
$o([k]_n)=n/gcd(n,k)$ (1)
Rispondiamo alla prima domanda :
chi sono i co-generatori di $ZZ_165$?
sappiamo che $[k]_165$ deve avere ordine proprio $165$ e dunque dalla formula trovata in precedenza si ha che
$gcd(165,k)=1$ e dunque possiamo desumere che i co-generatori sono tutti i $k$ primi con $165$.
A te l'ardua sentenzia di elencarli!
ora , vogliamo determinare tutti quelli di periodo $6$
ma possiamo ben dire che non ve ne sono
perché (come saprai) l'orine di un elemento deve dividere la cardinalità del gruppo. ma sei non divide 165.
però quelli di periodo 5 ve ne sono.
dalla 1 ricaviamo che
$g.c.d(165,k)=165/5=33$
allora è evidente che $33|k$ (per def di massimo comune divisore)
e dunque $k=33q$ , e cioè $k$ deve essere multiplo di $33$
ne segue allora che in $ZZ_165$ gli elementi
$33 , 66 , 99 , 132 $ hanno periodo $5$.
Spero di esserti stato di aiuto
se hai dubbi chiedi
Tu hai da considerare il gruppo additivo $(ZZ_165,+)$
e devi trovare tutti gli elementi di ordine $5$.
L'ordine di un elemento, in generale(e in particolare in notazione additiva), è $min{k>0|ng=0}$.
Cioè è il più piccolo intero strettamente positivo tale che $ng=0$ con $g in G$ (ove $G$ è un gruppo ).
Ora come certamente saprai , parlando dell'esercizio
$ZZ_165$ additivamente è un gruppo ed è generato da $[1]_165$,quindi il nostro gruppo è ciclico, ma non solo.
Quanti generatori ha $ZZ_165$? bella domanda.
Per capire ciò , bisogna dire che un elemento genera a sua volta $ZZ_165$ se ha ordine $165$.
Esiste una particolare formula (in spoiler,il caso generale)
che riadatto al caso di $ZZ_n$ che ci permette, noto un certo $[k]_n$ ,di calcolare il suo ordine
la formula è questa :
$o([k]_n)=n/gcd(n,k)$ (1)
Rispondiamo alla prima domanda :
chi sono i co-generatori di $ZZ_165$?
sappiamo che $[k]_165$ deve avere ordine proprio $165$ e dunque dalla formula trovata in precedenza si ha che
$gcd(165,k)=1$ e dunque possiamo desumere che i co-generatori sono tutti i $k$ primi con $165$.
A te l'ardua sentenzia di elencarli!
ora , vogliamo determinare tutti quelli di periodo $6$
ma possiamo ben dire che non ve ne sono
perché (come saprai) l'orine di un elemento deve dividere la cardinalità del gruppo. ma sei non divide 165.
però quelli di periodo 5 ve ne sono.
dalla 1 ricaviamo che
$g.c.d(165,k)=165/5=33$
allora è evidente che $33|k$ (per def di massimo comune divisore)
e dunque $k=33q$ , e cioè $k$ deve essere multiplo di $33$
ne segue allora che in $ZZ_165$ gli elementi
$33 , 66 , 99 , 132 $ hanno periodo $5$.
Spero di esserti stato di aiuto
se hai dubbi chiedi
Oddio ora ho un dubbio. Credevo quelli di periodo 6 non fosse possibile trovarli, quindi ho dato l'esercizio come impossibile da svolgere. in altre parole anche di periodo 6 va riportato al periodo 5. I risultati non sarebbero gli stessi?
(riguardo i numeri primi... -_- perchè ne ho trovati solo 33?)
(riguardo i numeri primi... -_- perchè ne ho trovati solo 33?)
Nel senso, in ordine 5 di Z165 avrei messo come elementi di ordine '5' i numeri '33' '66' '99' '132'
come generatori avrei eliminato tutti i numeri pari, multipli di 2 di 3 e di 11.... Immagino avrei sbagliato però.
Nell'esercizio da te riportato, prendi in considerazione tutti i numeri primi in quanto 1 è generatore. Ma 1 non sarebbe generatore di qualsiasi gruppo?
come generatori avrei eliminato tutti i numeri pari, multipli di 2 di 3 e di 11.... Immagino avrei sbagliato però.
Nell'esercizio da te riportato, prendi in considerazione tutti i numeri primi in quanto 1 è generatore. Ma 1 non sarebbe generatore di qualsiasi gruppo?
"Efreet":
Oddio ora ho un dubbio. Credevo quelli di periodo 6 non fosse possibile trovarli, quindi ho dato l'esercizio come impossibile da svolgere. in altre parole anche di periodo 6 va riportato al periodo 5. I risultati non sarebbero gli stessi?
(riguardo i numeri primi... -_- perchè ne ho trovati solo 33?)
Non primi , co-primi con $165$!
"Efreet":
Nel senso, in ordine 5 di Z165 avrei messo come elementi di ordine '5' i numeri '33' '66' '99' '132'
come generatori avrei eliminato tutti i numeri pari, multipli di 2 di 3 e di 11.... Immagino avrei sbagliato però.
Nell'esercizio da te riportato, prendi in considerazione tutti i numeri primi in quanto 1 è generatore. Ma 1 non sarebbe generatore di qualsiasi gruppo?
Domanda : perché eliminare i multipli di $2$?
risposta alla tua domanda : No,$1$ è generatore solo di particolari gruppi ciclici.
Ad esempio $ZZ$ è generato da $1$ , in particolare ha solo due generatori , $1$ e $-1$.
$ZZ_n$ è generato si da $1$ , infatti $ZZ_n={k[1]_n|k in ZZ} = {[k]_n|k in ZZ}$ ma non solo!
esso è generato da tutti gli elementi relativamente primi con $n$. Esempio.
Prendi $ZZ_4$
$[1]_4$ è un generatore di $ZZ_n$
$[2]_4$ invece non lo è infatti genera un sottogruppo additivo di $ZZ_4$ el tipo $U={[0]_4,[2]_4}$
$[3]_4$ invece lo è. Infatti $ZZ_4={n[3]_4| n in ZZ } = {3,6,9,12}={[3]_4,[2]_4,[1}_4,{0}_4}$
$[0]_4$ assolutamente no, genera il sottogruppo banale ${[0]_4}$
Per farti notare che $1$ non genera qualsiasi gruppo ti consiglio di considerare $U(ZZ_7)={1,2,3,4,5,6}$
tale gruppo, è un gruppo moltiplicativo, $1$ ha ordine 1
$2$ ha ordine 3. Infatti $2^3=8=1$
$3$ ha ordine 6 infatti $3^6=729=1$ e dunque genera $U(ZZ_7)$ (prove it!)
$4$ ha ordine 3.
$5$ ha ordine 6 (e genera il gruppo come $3$)
$6$ ha ordine 2.
Dunque i soli due generatori sono è solo 3
Mi sto facendo un po di confusione mi sa....
Allora, restando su Z165, per trovare i numeri di ordine 5 dovrei porre 5x=0 mod 135 quindi uno dovrebbe sicuramente essere 33. Tutti i suoi elementi sono quindi generatori (hanno ordine 5). Quidni 33, 66, 99, 132 dovrebbero avere ordine 5 in Z165.
I coprimi dovrebbero essere i multipli quindi di 5 di 11 e di 3, è corretto? Quindi i generatori sarebbero tutti quei numeri che non rientrano nei coprimi?
Allora, restando su Z165, per trovare i numeri di ordine 5 dovrei porre 5x=0 mod 135 quindi uno dovrebbe sicuramente essere 33. Tutti i suoi elementi sono quindi generatori (hanno ordine 5). Quidni 33, 66, 99, 132 dovrebbero avere ordine 5 in Z165.
I coprimi dovrebbero essere i multipli quindi di 5 di 11 e di 3, è corretto? Quindi i generatori sarebbero tutti quei numeri che non rientrano nei coprimi?
No,
Per trovare gli elementi di periodo $5$ puoi fare così , devi trovare tutti gli $x in ZZ$ tali che
$5x-=0(mod165)$ essendo il massimo comune divisore tra $(165,5)=5$ ne segue
che $5/5x-=0(mod165/5) => x-=0(mod33) <=> x=33k , k in ZZ$ e quindi ci si deve chiedere quanti multipli ci $33$ ci sono in $ZZ_165$?
Due numeri si dicono coprimi se il loro massimo comune divisore è 1. Diciamo che non hanno fattori primi comuni.
Per trovare gli elementi di periodo $5$ puoi fare così , devi trovare tutti gli $x in ZZ$ tali che
$5x-=0(mod165)$ essendo il massimo comune divisore tra $(165,5)=5$ ne segue
che $5/5x-=0(mod165/5) => x-=0(mod33) <=> x=33k , k in ZZ$ e quindi ci si deve chiedere quanti multipli ci $33$ ci sono in $ZZ_165$?
Due numeri si dicono coprimi se il loro massimo comune divisore è 1. Diciamo che non hanno fattori primi comuni.
Quindi 33, 66, 99 e 132 sono tutti gli elementi di periodo 5 di 165... Giusto?
Ora trovo i coprimi
Ora trovo i coprimi
sì
Dunque scomponendo 165 ottengo 11x3x5.
Quindi i numeri coprimi di 165 saranno tutti eccetto 11, 3, 5 e i loro multipli?
Quindi i numeri coprimi di 165 saranno tutti eccetto 11, 3, 5 e i loro multipli?
mmh, sembra corretto
Serio? Cioè è corretto?
... o.O non ho l'abitudine a sentirmelo dire....
Quindi torniamo a Z/165Z modulo 5....
Gli elementi saranno 33, 66, 99, 132
I generatori i coprimi (come detto sopra).
I sottogruppi saranno formati, uno dai generatori (di cui sopra)
Uno da tutti gli elementi rimanenti (credo)
Uno dagli elementi di ordine 5 (sempre credo)
Mi nasce un altro dubbio però... Il numero 33, di periodo 5, esaurendo gli elementi del gruppo Z/165Z (sempre per 5x=0 mod 165) è da considerare Isomorfo a Z/165Z? In questo caso forma un gruppo a sè?
... o.O non ho l'abitudine a sentirmelo dire....
Quindi torniamo a Z/165Z modulo 5....
Gli elementi saranno 33, 66, 99, 132
I generatori i coprimi (come detto sopra).
I sottogruppi saranno formati, uno dai generatori (di cui sopra)
Uno da tutti gli elementi rimanenti (credo)
Uno dagli elementi di ordine 5 (sempre credo)
Mi nasce un altro dubbio però... Il numero 33, di periodo 5, esaurendo gli elementi del gruppo Z/165Z (sempre per 5x=0 mod 165) è da considerare Isomorfo a Z/165Z? In questo caso forma un gruppo a sè?
la CLASSE $33$ genera un sottogruppo di ordine $5$ , come può essere isomorfo a $ZZ_165$ se tale gruppo ha $165$ elementi?
I sottogruppi hanno ordine divisore di $165$.
Abbiamo detto che $165=3*5*11$
quindi posso trovare sottogruppi di ordine $5$ , $11$ , $3$ ma anche $15$ , $33$ e $55$. oltre che $ZZ_165$ stesso e ${0}$ cioè il gruppo banale, sei d'accordo?
I sottogruppi hanno ordine divisore di $165$.
Abbiamo detto che $165=3*5*11$
quindi posso trovare sottogruppi di ordine $5$ , $11$ , $3$ ma anche $15$ , $33$ e $55$. oltre che $ZZ_165$ stesso e ${0}$ cioè il gruppo banale, sei d'accordo?
Hai ragione in effetti non può essere isomorfo. Non mi convince lo 0 però.
I sottogruppi dovrebbero essere ad occhi ovviamente ciclici se non sbaglio.... (se affilo molte scemenze per piacere fermatemi).
Quindi nel caso di 5 11 e 3 come anche 15 33 e 55 faranno parte di un altro gruppo, diverso da quello formato dal sottogruppo dei coprimi?
I sottogruppi dovrebbero essere ad occhi ovviamente ciclici se non sbaglio.... (se affilo molte scemenze per piacere fermatemi).
Quindi nel caso di 5 11 e 3 come anche 15 33 e 55 faranno parte di un altro gruppo, diverso da quello formato dal sottogruppo dei coprimi?
Efreet , ma $<[0]_165>$ è ciclico.è l'unico elemento di $ZZ_165$ di periodo 1.
Ogni gruppo ha un sottogruppo banale, che è quello formato dell'elemento neutro stesso.
Per quanto riguarda la seconda domanda, non ho capito sinceramente ... dici se i sottogruppi di ordine diverso sono disgiunti?
Ogni gruppo ha un sottogruppo banale, che è quello formato dell'elemento neutro stesso.
Per quanto riguarda la seconda domanda, non ho capito sinceramente ... dici se i sottogruppi di ordine diverso sono disgiunti?
Voglio dire, se devo determinare i sottogruppi generati in questo esempio di Z/nZ dovrei avere principalmente due gruppi. Tre considerando lo 0. Ovvero, quelli formati dai coprimi e quello formato dai numeri di periodo 5. E' corretto?
"Efreet":
Voglio dire, se devo determinare i sottogruppi generati in questo esempio di Z/nZ dovrei avere principalmente due gruppi. Tre considerando lo 0. Ovvero, quelli formati dai coprimi e quello formato dai numeri di periodo 5. E' corretto?
Efreet, noto un poco di confusione... allora,
Noi abbiamo $ZZ_n$, lo consideriamo come gruppo. Allora tale insieme che ti ricordo avere la forma
$ZZ_n={[0]_n,[1]_n,,......,[n-1]_n}$ è un gruppo se gli attribuiamo questa operazione di somma :
$[a]_n +_n =[a+b]_n$ domanda : cosa ci permette di dire che questa somma è ben definita?
Ora $(ZZ_n,+)$ si verifica essere ciclico. Ciò vuol dire che esiste un $g in ZZ_n $ tale che $o(g)=n=$ la cardinalità di $ZZ_n$.
tale elementino di $G$ è $[1]_n$, è l'unico? no.
Ora tu sai , dal teorema di Lagrange, che l'ordine di un elemento divide la cardinalità del gruppo , se esso è abeliano.
Quindi l'ordine di un qualsiasi elemento $g'$ di $ZZ_n$ ha ordine $o(g')$ tale che $o(g')|n$ . Questo ci dice che tutti i possibili ordini che si possono avere degli elementi di $ZZ_n$ sono tutti e soli i divisori di $n$.
in particolare, ogni elemento genera un sottogruppo, il quale è ciclico perché lo è $ZZ_n$.
Quindi in definitiva hai esattamente $n$ sottogruppi di $ZZ_n$.
A mio parere puoi solo dire che i sottogruppi di ordine $o(g') $ sono a due a due isomorfi.
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