Chiarimento su dimostrazioni con principio di induzione
Salve,
ho un paio di esercizi e vorrei porvi alcune domande di chiarimento su di essi, spero possiate cortesemente aiutarmi.
Esercizio 1:
Dimostrare per induzione che \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \) risulta:
\(\displaystyle 3^n < (n+2)! \)
svolgimento:
1) La disequazione è vera per \(\displaystyle n= 0 \):
\(\displaystyle 3^0 < (0+2)! \Rightarrow 1<2 \cdot 1 \Rightarrow 1<2 \)
2) Ammettendo che la disequazione sia vera per un dato \(\displaystyle n \), si cerca di dimostrare che lo sia anche per \(\displaystyle n+1 \).
Si moltiplica per \(\displaystyle 3 \) ambo i membri:
\(\displaystyle 3^n \cdot 3 < 3(n+2)! \)
\(\displaystyle 3^{n+1}<3(n+2)! \)
\(\displaystyle 3^{n+1}<(n+3)(n+2)!<(n+3)! \)
dove si è sostituito al numero \(\displaystyle 3 \), \(\displaystyle n+3 > 3 \) per cui il verso della diseguaglianza si conserva inalterato e ricordando che \(\displaystyle n! = n(n-1)! \) per cui \(\displaystyle (n+3)! = (n+3)(n+2)! \).
Alla fine si ottiene
\(\displaystyle 3^{n+1} < [ (n+1)+2 ]! \)
Quest'ultima conferma che la disequazione della traccia è valida anche per \(\displaystyle n+1 \) e quindi per il principio di induzione la disequazione della traccia è valida \(\displaystyle \forall n \).
domanda:
perchè viene fatta questa sostituzione? cosa ci porta ad agire in quel modo?
Esercizio 2:
Dimostrare per induzione l'uguaglianza:
\(\displaystyle 1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \, \forall n \in \mathbb{N}_{0} \)
svolgimento:
1) andando a sostituire essa è vera per \(\displaystyle n=1 \).
2) Ammettendo che l'equazione sia vera per un dato \(\displaystyle n \), si cerca di dimostrare che lo sia anche per \(\displaystyle n+1 \). \(\displaystyle (2n+1) \) rappresenta il dispari successivo di \(\displaystyle 2n-1 \), perciò ad ambo i membri si somma \(\displaystyle (2n+1)^2 \) ottenendo:
\(\displaystyle 1^2 + 3^2 + .. + (2n-1)^2 + (2n+1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} + (2n+1)^2 \)
facendo diversi calcoli si ottiene:
\(\displaystyle 1^2 + 3^2 + .. + (2n-1)^2 + (2n+1)^2 = (2n+1)(\frac{2n^2+5n+3}{3}) \)
\(\displaystyle 1^2 + 3^2 + .. + (2n-1)^2 + (2n+1)^2 = \frac{(2n+1)}{3}(2n+3)(n+1) \)
e infine:
\(\displaystyle 1^2 + 3^2 + .. + (2n-1)^2 + (2n+1)^2 = \frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3} \)
Quest'ultima conferma che l'equazione della traccia è valida anche per \(\displaystyle n+1 \) e quindi per il principio di induzione l'equazione della traccia è valida \(\displaystyle \forall n \).
domanda:
se vado a sostituire \(\displaystyle n+1 \) a secondo membro nella traccia, non ottengo il secondo membro dell'ultima equazione vista. Per quale motivo? Qual è il controesempio da fare in questo caso per verificare la correttezza del procedimento seguito?
mille grazie.
ho un paio di esercizi e vorrei porvi alcune domande di chiarimento su di essi, spero possiate cortesemente aiutarmi.
Esercizio 1:
Dimostrare per induzione che \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \) risulta:
\(\displaystyle 3^n < (n+2)! \)
svolgimento:
1) La disequazione è vera per \(\displaystyle n= 0 \):
\(\displaystyle 3^0 < (0+2)! \Rightarrow 1<2 \cdot 1 \Rightarrow 1<2 \)
2) Ammettendo che la disequazione sia vera per un dato \(\displaystyle n \), si cerca di dimostrare che lo sia anche per \(\displaystyle n+1 \).
Si moltiplica per \(\displaystyle 3 \) ambo i membri:
\(\displaystyle 3^n \cdot 3 < 3(n+2)! \)
\(\displaystyle 3^{n+1}<3(n+2)! \)
\(\displaystyle 3^{n+1}<(n+3)(n+2)!<(n+3)! \)
dove si è sostituito al numero \(\displaystyle 3 \), \(\displaystyle n+3 > 3 \) per cui il verso della diseguaglianza si conserva inalterato e ricordando che \(\displaystyle n! = n(n-1)! \) per cui \(\displaystyle (n+3)! = (n+3)(n+2)! \).
Alla fine si ottiene
\(\displaystyle 3^{n+1} < [ (n+1)+2 ]! \)
Quest'ultima conferma che la disequazione della traccia è valida anche per \(\displaystyle n+1 \) e quindi per il principio di induzione la disequazione della traccia è valida \(\displaystyle \forall n \).
domanda:
dove si è sostituito al numero \(\displaystyle 3 \), \(\displaystyle n+3 > 3 \) per cui il verso della diseguaglianza si conserva inalterato
perchè viene fatta questa sostituzione? cosa ci porta ad agire in quel modo?
Esercizio 2:
Dimostrare per induzione l'uguaglianza:
\(\displaystyle 1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \, \forall n \in \mathbb{N}_{0} \)
svolgimento:
1) andando a sostituire essa è vera per \(\displaystyle n=1 \).
2) Ammettendo che l'equazione sia vera per un dato \(\displaystyle n \), si cerca di dimostrare che lo sia anche per \(\displaystyle n+1 \). \(\displaystyle (2n+1) \) rappresenta il dispari successivo di \(\displaystyle 2n-1 \), perciò ad ambo i membri si somma \(\displaystyle (2n+1)^2 \) ottenendo:
\(\displaystyle 1^2 + 3^2 + .. + (2n-1)^2 + (2n+1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} + (2n+1)^2 \)
facendo diversi calcoli si ottiene:
\(\displaystyle 1^2 + 3^2 + .. + (2n-1)^2 + (2n+1)^2 = (2n+1)(\frac{2n^2+5n+3}{3}) \)
\(\displaystyle 1^2 + 3^2 + .. + (2n-1)^2 + (2n+1)^2 = \frac{(2n+1)}{3}(2n+3)(n+1) \)
e infine:
\(\displaystyle 1^2 + 3^2 + .. + (2n-1)^2 + (2n+1)^2 = \frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3} \)
Quest'ultima conferma che l'equazione della traccia è valida anche per \(\displaystyle n+1 \) e quindi per il principio di induzione l'equazione della traccia è valida \(\displaystyle \forall n \).
domanda:
se vado a sostituire \(\displaystyle n+1 \) a secondo membro nella traccia, non ottengo il secondo membro dell'ultima equazione vista. Per quale motivo? Qual è il controesempio da fare in questo caso per verificare la correttezza del procedimento seguito?
mille grazie.
Risposte
"lapoalberto77":
dove si è sostituito al numero \(\displaystyle 3 \), \(\displaystyle n+3 > 3 \) per cui il verso della diseguaglianza si conserva
Si è maggiorato $3$ con $n + 3$, poiché $n \in NN$.
"lapoalberto77":
domanda:
se vado a sostituire \(\displaystyle n+1 \) a secondo membro nella traccia, non ottengo il secondo membro dell'ultima equazione vista. Per quale motivo? Qual è il controesempio da fare in questo caso per verificare la correttezza del procedimento seguito?
Non credo di aver compreso il tuo dubbio.
\(\displaystyle p(n) : 1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \, \forall n \in \mathbb{N}_{0} \)
\(\displaystyle p(n+1) : 1^2 + 3^2 + ... + (2n + 1)^2 = \frac{(n+1)(2n + 1)(2n+3)}{3} \)
No?
grazie.
per il secondo ho risolto. ma per il primo esercizio ancora nn mi è chiaro:
perchè deve avvenire questa maggiorazione? Da dove lo capisco che è qualcosa che va fatta?
per il secondo ho risolto. ma per il primo esercizio ancora nn mi è chiaro:
perchè deve avvenire questa maggiorazione? Da dove lo capisco che è qualcosa che va fatta?
"lapoalberto77":
Da dove lo capisco che è qualcosa che va fatta?
Beh, è questione di metodo ed allenamento - proprio ciò che gli esercizi fanno imparare. Per il primo si può fare anche così - è equivalente, ma a me sembra più semplice.
Base: dimostrata.
Induzione. Vogliamo vedere se $3^(n+1)<(n+1+2)!$ ovvero $3^(n+1)<(n+3)!$ è vera, posso scriverla come
$3*3^n<(n+2)!*(n+3)$
Ora, poiché ho assunto $3^n<(n+2)!$ vera (v. parte centrale della formula sopra) e poiché $3 <= (n+3)$ per ogni $n$, la disuguaglianza è vera.
In soldoni: semplificando, aggiungendo fattori comuni, insomma con metodi algebrici o proprietà che conosco, cerco di ricondurre la formula per il caso $n+1$ a qualcosa che possa confrontare direttamente con il caso $n$.
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