Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Come si dimostra che, oltre ai polinomi di 1° grado, i polinomi di 2° grado con delta negativo sono gli unici altri irriducibili in R?

Ho notato che tutti i numeri perfetti (escluso il 6) danno come prova del nove risultato 1. È dimostrabile? È conosciuto?

Buongiorno forum... Avevo/ho in mente di partecipare al concorso per il TFA di quest'anno e quelli che l'hanno fatto l'anno scorso m'hanno detto "ci sono domande di algebra e non poche". Venendo da una triennale di matematica economica e da una magistrale fatta quasi unicamente di analisi et simili, ho pensato che di algebra non so un tubo. Ho trovato qui https://www.matematicamente.it/appunti/algebra/ appunti vari di algebra e in particolare ho dato un'occhiata al "note di algebra" di Martino (ho visto anche "appunti di ...

Ciao! Vi scrivo di nuovo perchè stavolta non sò proprio come impostare la dimostrazione: mostrare che se $n>=5$ ed $n$ non è primo allora vale $(n-1)! equiv 0 (mod n)$ Come potrei fare? Procedo per induzione e distinguo il caso in cui p sia primo oppure no? Grazie in anticipo

Ciao a tutti, sto dimostrando che la relazione di congruenza definita su $Z$ è compatibile con le due due operazioni definite su $Z$. Le dispense sulle quale sto studiando dimostrano la somma come segue: sia $bar{a} + bar{b} = bar{a + b}$ allora: $bar{a} + bar{b} = bar{a + sn + b + nt} = bar{(a + b) +n(s + t)} = bar{a + b}$ In pratica qui sostituisce $a$ con un generico $a + sn$ e $b$ con $b+nt$ che nelle classi resto modulo n sono equivalenti, e arriva ad $a + b$. Ho ho ...

Salve a tutti, volevo una definizione precisa di insieme indicizzato... Ringrazio anticipatamente! Cordiali slauti

Salve a tutti, ho bisogno di un piccolo aiuto: Ho bisogno di trovare tutte le radici di un'equazione di settimo grado che è divisibile per $(x+1)^5$ Dopo aver effettuato la divisone mi ritrovo con: $(x+1)^5$ e $ x^2 - 8x + 20$. da quest'ultima ricavo le due radici $4 - 2i$ e $4+2i$, ma come estraggo le radici da $(x+1)^5$? mi viene da pensare che siano 5 radici che rappresentano tutte lo stesso punto $x=-1$

Salve a tutti, non me lo sono mai chiesto, però di solito in molti testi di algebra dagli anelli in poi si preferisce la notazione additiva e la notazione moltiplicativa per le operazioni binarie interne o esterne, per brevità di scrittura suppongo, le quali però non sono le note operazioni di addizione o moltiplicazione, almeno penso e almeno i docenti così mi dissero... in effetti se non sono quelle note operazioni allora perchè si fa uso dopo un pò del simbolo sommatoria \( \sum \)? Cioè il ...

Salve a tutti, mi trovo con due proprietà e non sò quale delle due è esatta, ovvero: Proprietà1: sia \( A \) un corpo rispetto ad \( + \) e \( * \) ed \( G \) un insieme, ove \( G \subseteq A \) e \( G \neq \emptyset \), dicesi che \( G \) è un sottocorpo di \( A \) rispetto ad \( + \) e \( * \) se \( \mathrm{x}-\mathrm{y} \in G \) presi un qualunque \( \mathrm{x,y} \in G \). \( \mathrm{x}* \mathrm{y^{-1}} \in G \) presi un qualunque \( \mathrm{x,y} \in G \). Proprietà2: sia \( A ...

Algebra 1: qualcuno sa risolvere la parte sottolineata? Senza l'uso delle derivate! Ho una dimostrazione, ma vi son troppi calcoli :/

Ciao a tutti, vi sottopongo un altra tipologia di esercizio sulla dimostrazione per induzione: $ 3|(n^3 - n) $ Come posso dimostrare una cosa del genere? Un ragionamento che si potrebbe fare è questo: Se $ 3|(n^3 - n) rightarrow (n^3 - n)=3k $ Per $P(0)$ è vera infatti $(0^3 - 0) = 3*0$ Ora, assunto vero P(n) provo P(n+1): $((n+1)^3 - (n+1)) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 + 3n^2 + 2n = (n^3 - n ) + (3n^2 + 3n)$ Avremo quindi $(n^3 - n ) + (3n^2 + 3n) = 3k + 3n^2 + 3n rightarrow (n^3 - n ) + (3n^2 + 3n) = 3(k + n^2 + n)$ Per cui $3 | ((n^3 - n ) + (3n^2 + 3n))$ E' giusto ? L'ho risolto un pò meccanicamente... voi come fareste per dimostrare ...

Ciao a tutti, vi chiedo aiuto con questo esercizio sull'induzione: - Definiamo $a_n := 2^(2^n)+1$ , dimostrare che $a_n = a_0*a_1* ... *a_(n-1) + 2 $ Fino ad ora avevo dimostrato solo con sommatorie, qui non riesco a venirne a capo... $a_0 * ... * a_(n-1) + 2 = 2^(2^n)+1$ Potreste suggerirmi qual'è la strada giusta per la risoluzione di un esercizio con questa impostazione? Sò che và verificato il caso base, poi fatta un ipotesi induttiva e verificato per il successore di n scelto nell'ipotesi induttiva. Spero che qualcuno ...

Gentili ragazzi, sarà l'orario, ma io non riesco a decifrare bene i passaggi di questo esercizio (già svolto) sui numeri complessi. Riporto la traccia e i passaggi: $|z-1-i|<=4$ Usando la relazione $z=a+bi$, si ha: $|a+bi-1-i|<=4$. Finora, tutto ok. Ora arriva il passaggio che non ho capito, e cioè :$(a-1)^2+(b-1)^2<=16$. L'esercizio è volto alla rappresentazione geometrica della disequazione che, dall'ultimo passaggio, dimostra essere una circonferenza. Qualcuno sarebbe capace ...

Come da oggetto l'esercizio in questione dice di risolvere la disequazione $sqrt(1+x^2)<=|x|$ Dando poispiegazione geometrica disegnando un triangolo... questa non l'ho capita... la disequazione l'ho risolta e non ha soluzioni perchè non c'è intersezione tra l'iperbole e le bisettrice del I e II quadrante. Facendo il grafico, questa cosa bellissima si vede bene (mi sono accorto solo adesso che nei mac c'è un programmino che si chiama Grapher ch epermette di disegnare funzioni anche parecchio ...

Salve a tutti, def. : siano \( A \) un anello rispetto alle operazioni binarie \( + \) e \( * \) e \( B \subseteq A \), ove \( B \neq \emptyset \), dicesi che \( B \) è un sottoanello di \( A \) rispetto alle operazioni binarie \( + \) e \( * \) se \( B \) è un anello rispetto alle operazioni \( + \) e \( * \) . teor.: siano \( A \) un anello rispetto alle operazioni binarie \( + \) e \( * \) e \( B \subseteq A \), ove \( B \neq \emptyset \), \( B \) è un sottoanello di \( A \) rispetto ...

Ciao ragazzi, è certo che i numeri complessi hanno una somiglianza con i vettori. Sapreste indicarmi, però, se ci sono eventuali differenze e, nel caso affermativo, quali sono? Dubbio...

Ciao, amici! Volevo chiedere se le fomule di De Morgan\[A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\]\[A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\]\[C\setminus(A\cup B)=(C\setminus A)\cap(C\setminus B)\]\[C\setminus(A\cap B)=(C\setminus A)\cup(C\setminus B)\]valgono anche quando si considerino intersezioni e unioni infinite, in particolare non numerabili, al posto delle intersezioni e rispettivamente unioni di due insiemi. Intendo dire, per esempio, se vale ...

Fattorizzare $ 5^24 -1 $ sinceramente non so che metodo potrei utilizzare.. inoltre mi viene chiesto poi di verificare che $ 5^24 - 1$ non è primo con un metodo probabilistico

L'esercizio non è complesso ma ad un certo punto ho trovato una specie di bivio, due possibili soluzioni che sembrano contraddirsi (ovviamente errore mio, ma non riesco a capire dove): $3^(2x-4)-4*3^(x-2)+3>0$ Il mio procedimento è il seguente: $3^(2x)/3^(4)-4*3^(x)/3^2+3>0$ $3^(x)/3^2*(3^(x)/3^2-1)>0$ A questo punto studio il segno dei fattori: ${(3^(x)/3^2>0),(3^(x)/3^2-1>0):}$ che diventa: ${(3^(x)>0),(3^(x)>3^2):}$ Ora qui ho il dubbio, $3^x$ è $>0$ $AA x in RR$, vero? In questo caso allora sarebbe una cosa ...

Salve ragazzi! Ho un dubbio: perché ${ 1, 3}$ non è un ordinale? Sicuramente è bene ordinato rispetto alla relazione "appartenenza-uguale", quindi non dovrebbe essere transitivo... Ma non capisco perché. Qualche suggerimento?