Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Si vogliono definire le operazioni tra sezioni di Dedekind. $(A,B)+(C,D) = (A+C,B+D)}$ dove $A+C = {a+c, a\in A, c\in C$. Il prodotto invece dà problemi. $(A,B)(C,D)=(AC,BD),$ dove $AC={ac,a\in A,c\in C}$. Ora mi dicono che quest'ultima definizione è più problematica per via dei segni. Ma io non ci trovo nessun problema: mettiamo di avere due sezioni, una che rappresenta -1 e un altra che rappresenta 1. E' ovvio che se io moltiplico un numero razionale che si avvicina molto a -1 con un razionale che si avvicina molto ...

Ciao a tutti, sono nuovo del forum e spero di non aver sbagliato collocazione. Avrei due domande per le quali non so esattamente cosa cercare in rete. 1) In relazione alla "divisione euclidea dei polinomi", si enunci e dimostri il teorema di Ruffini. Secondo voi è quel che viene si studia in 1° liceo oppure ne esiste una dimostrazione più generale, diciamo "ufficiale"? 2) date $f(x)= x^3 + 3x + 1$ e $g(x) = x^2 - 1$ si determinino, se possibile, due polinomi a(x) e b(x) con coefficienti ...

Ciao ragazzi, è il mio primo post. Mi servirebbe una mano per alcuni esercizi da svolgere nella prova intercorso di Matematica Discreta. Sareste così gentili da spiegarmi passo passo come si risolvono questi esercizi? Un grazie col cuore. Ecco gli esercizi: 1) Siano A, B, C tre insiemi tali che A ∩ B = C, B ∩ C = A e C ∩ A = B. Provare che A = B = C. Enunciare le leggi di De Morgan per gli insiemi. 2) Dimostrare che per ogni n>=3, si ha che n^2 > 2n + 1.

Ciao ragazzi, capitando sulla pagina relativa alle relazioni simmetriche, ho trovato invertite le definizioni di proprieta' antisimmetrica e asimmetrica, almeno secondo quanto studiato al corso di algebra e riportato nel mio testo di base (Facchini) e su altri testi trovati sulla rete che cito a seguire: Pagina incriminata: http://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_simmetrica Fonti ...

Salve a tutti ragazzi vi chiedo scusa per la domanda banale ma non riesco a capire questo passo: traccia : $1^2 + 2^2 +3^2 + .. + n^2 = [n(n+1)+(2n+1)]/6$ ok il passo induttivo recita così : $1^2 + 2^2 +3^2 + .. + n^2 + (n+1)^2 = [(n+1)(n+2)+(2n+3)]/6$ perdonatemi ma non riesco a capire perchè questo $(2n+3) $ in particolare perchè 3??!?!??!? non dovrebbe essere $2n+2$ ?!? Mi spiegate il ragionamento che c'è dietro e qual'è la maniera giusta di ragionare quando sì fa il passo induttivo per n+1 come diventano i termini dell'uguaglianza ...

Salve a tutti; avrei un dubbio su una dimostrazione: dati due insiemi A,B ed un'applicazione $f:A->B$ provare che $f$ è iniettiva se e soltanto se esiste un'applicazione $g:B->A$ tale che $g(f)=i_A$ con $i_A$= applicazione identica di A in A. Partendo dal presupposto che una funzione si dice iniettiva se e solo se $x_1=x_2$ allora $f(x_1)=f(x_2)$; parto da un assurdo: supponiamo che sia $x_1!=x_2$ allora $f(x_1)=f(x_2)$ e che ...

Salve a tutti, torno alla carica.. Un' altra dimostrazione scritta dal mio professore che mi pare impossibile. Può essere un errore della traccia come nel caso precedente o sono scema io? Dimostrare che dati tre insiemi A, B e C vale sempre: \( A \cap ( B \cup C) = ( A \cap C) \cup ( B \cap C) \) Ovviamente ho impostato la dimostrazione considerando i cinque casi possibili e sostituendo nell' espressione: nel caso 1) A=B=C caso 2) A B e C diversi fra loro caso3) A=B ma C diverso caso 4) ...

Dimostrare che nel triangolo di tartaglia il numero dei coefficienti dispari di una qualsiasi riga è una potenza di 2. Queste sono le osservazioni che ho fatto fin ora: Nella riga n ci sono n+1 numeri La somma dei numeri nella riga n è $2^n$ Nelle righe $2^m-1$ ci sono solo numeri dispari C'è un numero pari di numeri dispari in ogni riga.

Sia $f(x) \in \mathbb{K}[x]$ un polinomio monico e irriducibile, avente due radici distinte $\alpha, \beta \notin \mathbb{K}$. Dimostrare che se $\alpha + \beta \in \mathbb{K}$ allora $f(x)$ ha grado pari. La mia idea era quella di considerare il polinomio $g(x) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta \in \mathbb{K}(\alpha\beta)[x]$, in modo che, se $\alpha \notin \mathbb{K}(\alpha\beta)$ e quindi neanche $\beta$ ci sta, $g(x)$ risulta irriducibile in $\mathbb{K}(\alpha\beta)$, allora il grado dell'estensione $\mathbb{K}(\alpha, \beta)$ su $\mathbb{K}(\alpha\beta)$ è 2, che quindi divide il grado di ...

Ciao, a tutti, questo è il mio primo post! Innanzitutto grazie per questo forum: mi ha aiutato spesso a capire! Sono un pò in conflitto con questo esercizio, qualcuno mi può aiutare? Date due proposizioni logiche P e Q qualsiasi, dimostrare formalmente che: (P or ( P --> Q) ) --> Q è sempre vera non riesco proprio a venirne a capo..

Siano A e B due sottoinsiemi di U $ A,B in R $ se e solo se $ A sube B $ Abbiate pazienza, ma devo di se: Se è una relazione d'ordine, e lo è perche è contemporaneamente riflessiva, antisimmetrica e transitiva Se è una relazione d'ordine totale, che non so bene come stabilirla so solo che a e b devono essere distinti e che or A è in relazione con B, oppure B é in relazione con A In questo caso, non so procedere.... Devo infine stabilire se {A} {B}$ in $ 2^U in ...

Buona sera a tutti... Come avrete notato negli ultimi giorni non sono pochi i dubbi che porto in serbo con me... uno dei quali è il seguente: nella definizione che ci è stata detta oggi dal professore, confrontando la cardinalità tra due insiemi, è saltato fuori che $|A|>=|B|$ se e solo se $f:A->B$ è suriettiva. Fino a quando si trattava di $|A|<=|B|$ (e quindi se gli elementi di A sono meno di quelli di B) è necessario che $f:A->B$ sia iniettiva. Ma non mi ...

Salve a tutti, vi propongo un esempio che ho incontrato mentre mi accingevo a studiare i primi rudimenti di analisi 1; nelle dispense date dal prof., una volta definita l'operazione intersezione tra gli insiemi, ci viene proposto questo esempio: Sia $X$ un insieme. Se $\mathcal{F}$ è la famiglia vuota di parti di $X$ allora $\bigcap_(F\in\mathcal{F})F = X$. Se infatti $x\in\bigcap_(F\in\mathcal{F})F$ allora esso è per definizione elemento di $X$. Se invece ...

La scrittura $ {0,1}^(x) $ significa fare x volte il prodotto cartesiano tra $ {0,1} $ ?

$EE x | AA y (y in x) iff (y = a vv y = b)$ se $a$ e $b$ sono insiemi, allora l'assioma dice che; dato un insieme $x$ contenente $y$ elementi;2 tra questi elementi sono $a$ e $b$; quindi $x$ non contiene solo $a$ e $b$ giusto ?

Buona sera a tutti, sto seguendo un corso di algebra che prevede lo studio di anelli, ideali e moduli qualcuno sa consigliarmi un buon eserciziario con molti esercizi svolti. grazie =)

Ciao a tutti! il professore di algebra ci ha dato per compito di trovare l'errore nella dimostrazione per induzione che $dx^n / dx = 0, AA n in N.$ Utilizzando il principio di induzione forte si trova l'errore perchè $P(1)$ è falsa, ma applicando il principio di induzione classico non trovo l'errore. Se $P(0)$ è vera perchè $dx^0/dx = d1/dx = 0$ Se assumo per P(n) è vera, questo implica che P(n+1) è vera perchè $dx^(n+1)/dx = d(x*x^n)/dx$ e usando la regola della derivata di un prodotto viene ...

Spero di aver postato nella sezione giusta, non mi è chiaro un passaggio di un testo, si parla della costruzione di un anello in cui non è valida la legge di annullamento del prodotto. Preso un insieme $ZxZ=Z^2$ Aggiungiamo prima una legge di composizione (addizione) e poi una seconda legge di composizione (prodotto) Per l'addizione : $((a,b);(a',b'))epsilonZ^2xZ^2=>(a,b)+(a';b')=(a+a',b+b')epsilonZ^2$ Per il prodotto : $((a,b);(a',b'))epsilonZ^2xZ^2=>(a,b)*(a',b')=(a*a',b*b')epsilonZ^2$ Per verificare che si tratti ti un anello a questo punto verifichiamo la proprietà distributiva del ...

Da qui $EE x | AA y (y in x) iff (y = a vv y = b)$ intuisco che $a$ e $b$ sono elementi, degli insiemi $A$ e $B$, e non insiemi. In questo assioma(spero solo in questo) vengono usate simbologie identiche per identificare insiemi e elementi, mentre si dovrebbero usare(da convenzioni prestabilite) lettere maiuscole per gli insiemi $A$ e minuscole per gli elementi $a$; in questo modo, oltre ad una forma più corretta di ...

Buonasera a tutti! Sul testo "Introduction To Cryptography" di Johannes A. Buchmann a pag. 186 ho trovato una trattazione abbastanza esauriente dell'algoritmo Baby-Step Giant-Step per il calcolo del logaritmo discreto, il punto che mi è oscuro riguarda un teorema enunciato (e non dimostrato) poche pagine dopo "The baby-step giant-step algorithm requires $O(\sqrt{|G|})$ multiplications and comparisons in $G$. It needs storage for $O(\sqrt{|G|})$" dove ...