Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Salve a tutti
ragazzi vi chiedo scusa per la domanda banale ma non riesco a capire questo passo:
traccia :
$1^2 + 2^2 +3^2 + .. + n^2 = [n(n+1)+(2n+1)]/6$
ok il passo induttivo recita così :
$1^2 + 2^2 +3^2 + .. + n^2 + (n+1)^2 = [(n+1)(n+2)+(2n+3)]/6$
perdonatemi ma non riesco a capire perchè questo $(2n+3) $ in particolare perchè 3??!?!??!?
non dovrebbe essere $2n+2$ ?!?
Mi spiegate il ragionamento che c'è dietro e qual'è la maniera giusta di ragionare quando sì fa il passo induttivo per n+1 come diventano i termini dell'uguaglianza ...
Salve a tutti; avrei un dubbio su una dimostrazione: dati due insiemi A,B ed un'applicazione $f:A->B$ provare che $f$ è iniettiva se e soltanto se esiste un'applicazione $g:B->A$ tale che $g(f)=i_A$ con $i_A$= applicazione identica di A in A. Partendo dal presupposto che una funzione si dice iniettiva se e solo se $x_1=x_2$ allora $f(x_1)=f(x_2)$; parto da un assurdo: supponiamo che sia $x_1!=x_2$ allora $f(x_1)=f(x_2)$ e che ...
Salve a tutti, torno alla carica.. Un' altra dimostrazione scritta dal mio professore che mi pare impossibile. Può essere un errore della traccia come nel caso precedente o sono scema io?
Dimostrare che dati tre insiemi A, B e C vale sempre: \( A \cap ( B \cup C) = ( A \cap C) \cup ( B \cap C) \)
Ovviamente ho impostato la dimostrazione considerando i cinque casi possibili e sostituendo nell' espressione:
nel caso 1) A=B=C
caso 2) A B e C diversi fra loro
caso3) A=B ma C diverso
caso 4) ...
Dimostrare che nel triangolo di tartaglia il numero dei coefficienti dispari di una qualsiasi riga è una potenza di 2.
Queste sono le osservazioni che ho fatto fin ora:
Nella riga n ci sono n+1 numeri
La somma dei numeri nella riga n è $2^n$
Nelle righe $2^m-1$ ci sono solo numeri dispari
C'è un numero pari di numeri dispari in ogni riga.
Sia $f(x) \in \mathbb{K}[x]$ un polinomio monico e irriducibile, avente due radici distinte $\alpha, \beta \notin \mathbb{K}$. Dimostrare che se $\alpha + \beta \in \mathbb{K}$ allora $f(x)$ ha grado pari.
La mia idea era quella di considerare il polinomio $g(x) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta \in \mathbb{K}(\alpha\beta)[x]$, in modo che, se $\alpha \notin \mathbb{K}(\alpha\beta)$ e quindi neanche $\beta$ ci sta, $g(x)$ risulta irriducibile in $\mathbb{K}(\alpha\beta)$, allora il grado dell'estensione $\mathbb{K}(\alpha, \beta)$ su $\mathbb{K}(\alpha\beta)$ è 2, che quindi divide il grado di ...
Ciao, a tutti, questo è il mio primo post! Innanzitutto grazie per questo forum: mi ha aiutato spesso a capire!
Sono un pò in conflitto con questo esercizio, qualcuno mi può aiutare?
Date due proposizioni logiche P e Q qualsiasi, dimostrare formalmente che: (P or ( P --> Q) ) --> Q è sempre vera
non riesco proprio a venirne a capo..
Siano A e B due sottoinsiemi di U
$ A,B in R $ se e solo se $ A sube B $
Abbiate pazienza, ma devo di se:
Se è una relazione d'ordine, e lo è perche è contemporaneamente riflessiva, antisimmetrica e transitiva
Se è una relazione d'ordine totale, che non so bene come stabilirla
so solo che a e b devono essere distinti e che or A è in relazione con B, oppure B é in relazione con A
In questo caso, non so procedere....
Devo infine stabilire se {A} {B}$ in $ 2^U
in ...
Buona sera a tutti... Come avrete notato negli ultimi giorni non sono pochi i dubbi che porto in serbo con me... uno dei quali è il seguente: nella definizione che ci è stata detta oggi dal professore, confrontando la cardinalità tra due insiemi, è saltato fuori che $|A|>=|B|$ se e solo se $f:A->B$ è suriettiva. Fino a quando si trattava di $|A|<=|B|$ (e quindi se gli elementi di A sono meno di quelli di B) è necessario che $f:A->B$ sia iniettiva. Ma non mi ...
Salve a tutti, vi propongo un esempio che ho incontrato mentre mi accingevo a studiare i primi rudimenti di analisi 1; nelle dispense date dal prof., una volta definita l'operazione intersezione tra gli insiemi, ci viene proposto questo esempio:
Sia $X$ un insieme. Se $\mathcal{F}$ è la famiglia vuota di parti di $X$ allora $\bigcap_(F\in\mathcal{F})F = X$.
Se infatti $x\in\bigcap_(F\in\mathcal{F})F$ allora esso è per definizione elemento di $X$.
Se invece ...
La scrittura $ {0,1}^(x) $ significa fare x volte il prodotto cartesiano tra $ {0,1} $ ?
$EE x | AA y (y in x) iff (y = a vv y = b)$
se $a$ e $b$ sono insiemi, allora l'assioma dice che; dato un insieme $x$ contenente $y$ elementi;2 tra questi elementi sono $a$ e $b$; quindi $x$ non contiene solo $a$ e $b$ giusto ?
Buona sera a tutti,
sto seguendo un corso di algebra che prevede lo studio di anelli, ideali e moduli qualcuno sa consigliarmi un buon eserciziario con molti esercizi svolti.
grazie =)
Ciao a tutti! il professore di algebra ci ha dato per compito di trovare l'errore nella dimostrazione per induzione che $dx^n / dx = 0, AA n in N.$
Utilizzando il principio di induzione forte si trova l'errore perchè $P(1)$ è falsa, ma applicando il principio di induzione classico non trovo l'errore.
Se $P(0)$ è vera perchè $dx^0/dx = d1/dx = 0$
Se assumo per P(n) è vera, questo implica che P(n+1) è vera perchè $dx^(n+1)/dx = d(x*x^n)/dx$ e usando la regola della derivata di un prodotto viene ...
Spero di aver postato nella sezione giusta, non mi è chiaro un passaggio di un testo,
si parla della costruzione di un anello in cui non è valida la legge di annullamento del prodotto.
Preso un insieme $ZxZ=Z^2$
Aggiungiamo prima una legge di composizione (addizione) e poi una seconda legge di composizione (prodotto)
Per l'addizione : $((a,b);(a',b'))epsilonZ^2xZ^2=>(a,b)+(a';b')=(a+a',b+b')epsilonZ^2$
Per il prodotto : $((a,b);(a',b'))epsilonZ^2xZ^2=>(a,b)*(a',b')=(a*a',b*b')epsilonZ^2$
Per verificare che si tratti ti un anello a questo punto verifichiamo la proprietà distributiva del ...
Da qui $EE x | AA y (y in x) iff (y = a vv y = b)$ intuisco che $a$ e $b$ sono elementi, degli insiemi $A$ e $B$, e non insiemi. In questo assioma(spero solo in questo) vengono usate simbologie identiche per identificare insiemi e elementi, mentre si dovrebbero usare(da convenzioni prestabilite) lettere maiuscole per gli insiemi $A$ e minuscole per gli elementi $a$; in questo modo, oltre ad una forma più corretta di ...
Buonasera a tutti! Sul testo "Introduction To Cryptography" di Johannes A. Buchmann a pag. 186 ho trovato una trattazione abbastanza esauriente dell'algoritmo Baby-Step Giant-Step per il calcolo del logaritmo discreto, il punto che mi è oscuro riguarda un teorema enunciato (e non dimostrato) poche pagine dopo
"The baby-step giant-step algorithm requires $O(\sqrt{|G|})$ multiplications and comparisons in $G$. It needs storage for $O(\sqrt{|G|})$"
dove ...
Detto "alla carlona" questo teorema afferma che ogni polinomio ad una indeterminata e a coefficienti in un campo, ammette almeno una soluzione complessa. Ma questo non è sempre vero, o sbaglio?
Ad esempio [tex]1^x -2 = 0[/tex] non ha soluzione, vero?
A lezione abbiamo dimostrato il teorema fondamentale dell'algebra attraverso l'uso della seconda forma del principio di induzione. Il professore ci ha invitato a risolverlo usando la terza forma (il principio del minimo); vorrei un aiuto perché non riesco a capire come dal fatto che esista un elemento minimo in un insieme non vuoto (nel caso, quello i cui elementi soddisfano la proprietà di "essere scrivibili come prodotto di fattori primi") si possa passare ad una generalizzazione così ampia ...
Con una costruzione geometrica e un po' di fantasia ho ricavato questa formula per calcolare la somma dei quadrati dei primi $n$ numeri naturali, tuttavia ho qualche dubbio riguardo la sua correttezza e utilità:
$sum_{i=1}^n i^2\ = frac(\ n^2(n+1) \)2 \ - \sum_{k=1}^n\(sum_{i=1}^(n-k) i)$
Però: innanzi tutto non so se ha una certa utilità pratica o risulta eccessivamente scomoda; inoltre non sono sicuro di aver usato la giusta simbologia, ovvero, nelle ultime due sommatorie il mio scopo era far capire:
-con la prima a partire da destra che ...
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