Argomento di un numero complesso
Salve , dire che l'argomento di un numero complesso è definito a meno di multipli di $2\pi$ che significa ? perchè sto un po in confusione ! vi ringrazio
Risposte
Come sai un numero complesso $z in CC$ può essere espresso nelle diverse forme:
-$z=a+ib$ $a,b in RR$
-$z=|z|[cos(theta)+isin(theta)]$ $theta in arg{z}$
-$z=|z|e^(i theta)$
$theta$ ovvero un argomento di $z$ puoi vederlo come l'angolo -espresso in radianti- formato dal segmento che congiunge l'orgine del piano cartesiano con il punto $(a,b)$.
E' evidente che anche $2pi,4pi,....2kpi$ con $k in ZZ$ soddisfano questa condizione: ti basta verificare che ad esempio:
$z=|z|[cos(theta)+isin(theta)]=|z|[cos(theta+2pi)+isin(theta+2pi)]$
$z=|z|e^(i theta)=|z|e^(i(theta+2pi))$
-$z=a+ib$ $a,b in RR$
-$z=|z|[cos(theta)+isin(theta)]$ $theta in arg{z}$
-$z=|z|e^(i theta)$
$theta$ ovvero un argomento di $z$ puoi vederlo come l'angolo -espresso in radianti- formato dal segmento che congiunge l'orgine del piano cartesiano con il punto $(a,b)$.
E' evidente che anche $2pi,4pi,....2kpi$ con $k in ZZ$ soddisfano questa condizione: ti basta verificare che ad esempio:
$z=|z|[cos(theta)+isin(theta)]=|z|[cos(theta+2pi)+isin(theta+2pi)]$
$z=|z|e^(i theta)=|z|e^(i(theta+2pi))$
no questo lo so, voglio capire proprio che significa definito a meno di.. cioè non esiste un argomento univocamente definito? mi spiego cosa vorrei sapere?
"pasqualinux":
no questo lo so, voglio capire proprio che significa definito a meno di.. cioè non esiste un argomento univocamente definito? mi spiego cosa vorrei sapere?
"lordb":
Come sai un numero complesso $z in CC$ può essere espresso nelle diverse forme: ...
-$z=|z|[cos(theta)+isin(theta)]$ $theta in arg{z}$
-$z=|z|e^(i theta)$
.....
E' evidente che anche $2pi,4pi,....2kpi$ con $k in ZZ$ soddisfano questa condizione: ti basta verificare che ad esempio:
$z=|z|[cos(theta)+isin(theta)]=|z|[cos(theta+2pi)+isin(theta+2pi)]$
$z=|z|e^(i theta)=|z|e^(i(theta+2pi))$
Rileggi meglio
"pasqualinux":
no questo lo so, voglio capire proprio che significa definito a meno di.. cioè non esiste un argomento univocamente definito? mi spiego cosa vorrei sapere?
ciao,ti porto un esempio.
Considera il numero complesso scritto in forma trigonometrica al seguente modo.
$z=2(cos(\pi/2)+isin(\pi/2)$ che sappiamo essere, in forma algebrica $z=2i$ , giusto?
Ora tu sai che $sin(x+2k\pi)=sin (x+2\pi)=sin(x)$ e che $cos(x+2k\pi)=cos(x+2\pi)=cos(x)$ perché la funzione seno e la funzione coseno sono funzioni periodiche di periodo $2\pi$
Dunque, risulta allora evidente che se aggiungo un termine $2k\pi$ , rappresento lo stesso numero complesso.
Cioè $z=2(cos(\pi/2)+isin(\pi/2)=2(cos(\pi/2+2k\pi)+isin(\pi+2k\pi)=2i$ ove $k$ naturalmente è un intero.
Dunque l'argomento è definito a meno di giri completi, alla fin fine.
l'ho capito questooooo... voglio sapere ' a meno di ' cosa significa ??
Esattamente quello io e Kashaman ti abbiamo scritto, non esiste un argomento di un numero complesso, ma questi sono infiniti e differiscono tutti per multipli di $+-2pi$.
cioè uno stesso numero complesso puo essere rappresentato in forma trigonometrica dal suo angolo ,oppure dal suo angolo piu un multiplo di $2\pi$ .un po come le primitive di una funzione che sono definite per una costante additiva
"pasqualinux":
cioè uno stesso numero complesso puo essere rappresentato in forma trigonometrica dal suo angolo ,oppure dal suo angolo piu un multiplo di $2\pi$ .un po come le primitive di una funzione che sono definite per una costante additiva
più o meno,se ti fa comodo immagina così.
Il fatto è semplice, vedilo sotto il punto di vista geometrico
Dire $90°$ oppure $450°$ è la stessa cosa. Non è che esiste un angolo di $450°$
Ne sei convinto?
yes sir !!
"Kashaman":
Dire $90°$ oppure $450°$ è la stessa cosa. Non è che esiste un angolo di $450°$
Non mi piace tanto questa frase Kashman.
Mi spiego con un esempio: se vuoi fissare una corda ad un palo puoi fare un nodo oppure arrotolarci la corda intorno un numero di giri adeguato, giro più giro meno fa la differenza.
In effetti la tua spiegazione qui
"Kashaman":
perché la funzione seno e la funzione coseno sono funzioni periodiche di periodo $2\pi$
Dunque, risulta allora evidente che se aggiungo un termine $2k\pi$ , rappresento lo stesso numero complesso.
Cioè $z=2(cos(\pi/2)+isin(\pi/2)=2(cos(\pi/2+2k\pi)+isin(\pi+2k\pi)=2i$ ove $k$ naturalmente è un intero.
Dunque l'argomento è definito a meno di giri completi, alla fin fine.
mi sembra ottima.
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