Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Salve ragazzi ho questa proposizione.
Sia $l$ un intero maggiore di $1$ e non maggiore di $n$ , in $S_n$ vi sono esattamente
$1/l*(n!)/((n-l)!)$
cicli di lunghezza $l$
io ho provato a semplificare la dimostrazione ragionando così :
Dato ${a_1,a_2,....,a_l} sube {1,2,3,...,n}$.
I cicli che posso formare con i numeri $a_1,a_2,....,a_l$ sono esattamente $l!$, Si può supporre senza ledere la generalità che i cicli comincino tutti con lo ...
Ciao a tutti.
Sto studiando teoria di Galois e per prepararmi allo scritto ho dato un'occhiata agli esami vecchi sulla pagina del professore.
In un problema mi si chiede di trovare tutti i sottocampi di $L:= QQ[ alpha, beta]$, dove $alpha$ è una radice primitiva quinta dell'unità e $ beta=sqrt(7) $.
Sono riuscito a mostrare che L è un'estensione di grado 8 su $QQ$ e che il gruppo di Galois dell'estensione è isomorfo a $ZZ_2 xx ZZ_4$.
Ora, dal teorema fondamentale della ...
Si dimostra che conoscere le radici di un residuo quadratico modulo n=pq equivale a conoscere p e q, dove questi sono 2 primi.
Il passaggio che mi sfugge è il seguente:
Sia $a in ZZ_n$ un residuo quadratico modulo n.
dato che $ ZZ_n ~~ (ZZ_p xx ZZ_q ) $ allora per il teorema del resto per trovare le radici di a è sufficiente trovarle modulo un primo.
Il TdR l' ho presente, ho anche provato a considerare il sistema di congruenze modulo p e n, ma comunque non riesco a risalire al ragionamento ...
La proposizione è questa
Sia $A$ un anello unitario. $B$ un sotto anello di $A$ tale che $1 in B$ allora $U(B)$ è un sottogruppo di $U(A)$
Non ho capito molto bene tale proposizione, nel senso che se $A$ è unitario, le ipotesi ci dicono che $1 in B$ ma tale $1$ è l'elemento neutro di $A$? Quindi praticamente deve accadere che $1_A = 1_B$? cosa che in generale non ...
Ciao ragazzi ieri ho fatto lo scritto di Elementi di matematica e logica e ho lasciato indietro questo esercizio che, molto probabilmente mi chiederanno all'orale...
Sapete mica dirmi come risolverlo?
Calcolare la classe di $5^283$ in $Z_319$
Perchè sulle dispense non trovo nulla di utile, credo che sia da utilizzare il teorema di Fermat per abbassarsi l'esponente... Però ci ho provato e non riesco...
Ciao a tutti, voglio dimostrare la proposizione seguente (ammesso che sia vera, ma sono abbastanza sicuro di sì):
Proposizione: Sia $ p \in \mathbb{R}[x]_n $. Se $ \alpha \in \mathbb{C} $ è radice di $ p(x) $, allora $ -\alpha $ è radice di $ p (-x) $ e viceversa.
L'unica cosa che mi viene in mente è procedere per induzione su $ n $, osservando che il caso $ n = 1 $ è banale; poi però non so più come proseguire.
Chi mi sa aiutare?
Giorno a tutti, mi sto esercitando per l'esame di algebra.Tra i tanti esercizi che ho fatto c'è questo in particolare che non riesco a trovare alcuna soluzione.
Sia $G$ un gruppo e $N$ un sottogruppo di $G$, provare:
1)Se $N$ è normale in $G$ allora $C(N)$ è normale in $G$ (ove $C(N)$= { $x \in G |$ $xn=nx$ $\forall n \in N}$).
2)Se $N$ è anche ciclico ...
salve ragazzi, come da titolo proprio ieri ho sostenuto l'esame scritto di algebra 1 presso la mia facoltà.
Vi pongo in esame la mia risoluzione, uno perché ho paura di aver fatto un macello, secondo sono in depressione post - esame (tipo post partum ) , terzo perché voglio confrontarmi con voi per la risoluzione, visto che fino a domani mattina, quando usciranno i risultati, non so aspettare XD
Arriviamo al primo :
Si consideri in $S_16$
$\alpha=(1,7,2,13)(3, 14, 6, 10, 4)(8, 12)(5,11)(9,16,15)$
punto a) ...
Leggevo un capitolo del Mac lane/Birkhoff a proposito degli insiemi di funzioni, che definisce nel seguente modo:
sia [tex]f : X \rightarrow S[/tex] una funzione, allora si definisce l'insieme delle funzioni come [tex]S^X := \{f | f:X \rightarrow S\}[/tex].
E sin qui mi sembra semplice.
Continua con un esempio: sia l'insieme [tex]1=\{1\}[/tex], allora la funzione [tex]f : 1 \rightarrow S[/tex] è completamente determinata dal valore [tex]f(1) \in S[/tex] e ciascun elemento [tex]s \in S[/tex] ...
Si consideri l’insieme $A=(x in R, 0<=x<2pi)$ , munito della operazione:
$x°y= x+y if 0<=x+y<2pi$
$x°y= x+y-2pi if 2pi<x+y<4pi$
Dire se l'insieme è :
A Un gruppo non commutativo.
B Un gruppo commutativo isomorfo al gruppo moltiplicativo dei numeri complessi.
C Un gruppo commutativo isomorfo al gruppo additivo dei numeri complessi.
D Un gruppo commutativo isomorfo al gruppo moltiplicativo dei numeri complessi di modulo unitario.
E Nessuna delle risposte precedenti.
Scusate ...
Il mio testo riporta:
"Per ogni primo o dispari
$ p^2 -= 1 (mod 8) $
Quindi in $ F_(p^2) $ esiste una radice ottava primitiva dell' unità, che indicheremo con $k$."
Voi cosa capite? Io intendo che k è tale che $k^8=1$ in $ F_(p^2) $, ma questo come si è dedotto dalla congruenza?
In particolare, successivamente si fanno dei calcoli con k che non ho ben capito i passaggi, in particolare:
$k-k^3-k^5+k^7=k-k^3+k-k^3$
Io ho supposto, se $k^8=1$ allora ...
Data la seguente relazione
$ R := { (0,1),(3,2)}$
dall'insieme $A = {0,1,2,3} $ in sè
a) Si determini un sottoinsieme $X$ di $A xx A$ tale che la relazione $R uu X$ sia una relazione simmetrica.
b) Si determini un sottoinsieme $Y$ di $A xx A$ tale che la relazione $R uu Y$ sia una relazione riflessiva.
c) Si determini un sottoinsieme $Z$ di $A xx A$ tale che la relazione $R uu Z$ sia una una funzione ...
Dati due insiemi $A$,$B$;
Se il simbolo $sube$ (es: $B$$sube$$A$) significa che ogni elemento di $A$ è anche elemento da $B$, si deduce che $A$$=$$B$;
ma questo non dovrebbe essere falso perchè ...
Da Lunedì ho cominciato a frequentare il pre-corso di matematica per Ingegneria. Da quando sono alle elementari il primo argomento che si inizia a trattare di matematica all'inizio del corso sono proprio gli INSIEMI. In quanto gli insiemi sono le basi della matematica vorrei assicurarmi di aver capito fino in fondo questo argomento i cui concetti sono relativamente semplici, ma che però possono sfociare in teorie logiche più complesse (es. teoria degli insiemi).
Per quanto riguardi gli insiemi ...
Ciao, sono nuova in questo forum, vi pongo una domanda di algebra.
E' vero che nei PID(dominii ad ideali principali) gli elementi primi generano ideali massimali e vale anche il viceversa, cioè che tutti gli ideali massimali sono generati da elementi primi? Riuscireste a fornirmi una dimostrazione?
Riflettendo mi viene da dire: se A anello commutativo, $I=(a)$ è suo ideale massimale, allora non esistono altri ideali di A che lo contengono, allora $\forall a \in A$, $\forall i \in I$, ...
Ho trovato una definizione di numeri indecomponibili e primi in Z che mi lascia un po' perplesso. "Nell' anello degli interi le due nozioni seguenti sono equivalenti: un elemento $i\in Z$ si dice indecomponibile se quando risulta i = xy allora uno dei due fattori x oppure y è unitario (cioè, nel caso di Z, vale $\pm$1). Un elemento p si dice primo se tutte le volte che divide un prodotto xy allora divide almeno uno dei fattori.
Ora, ad esempio $450=30\cdot 45$: ...
Ho letto da poco la costruzione standard dei numeri naturali su wikipedia, ed ho letto che
"l'operazione di addizione viene definita nel modo seguente: date due classi di insiemi (quindi due numeri) a e b, se A e B sono insiemi disgiunti appartenenti alle classi a e b rispettivamente, la somma a + b è la classe di equivalenza dell'insieme A U B. "
Questa definizione di somma l'ho capita che se ho un insieme A di noci in numero di a ed un insieme B di noci in numero di b si definisce a+b la ...
Ragazzi, ho un dubbio atroce.
Sui miei appunti non c'è nulla a riguardo. (oppure so troppo fesso io a fare queste domande così sciocche!!)
So che ogni permutazione si scrive nel prodotto dei suoi cicli disgiunti e che ogni ciclo si può scrivere in termini di scambi, e che quindi ogni permutazione può essere espressa in termini di trasposizioni.
Ma questo mi basta per affermare che a partire dagli scambi posso generare qualsiasi permutazione di $S_n$?
Questo mi basta per dire le ...
Ciao a tutti..
trovo difficoltà con questo esercizio:
nel primo punto, che ho già svolto, fa calcolare le radici cubiche complesse del numero $-5$
nel secondo invece, dopo aver elevato al cubo l'equazione
\( \mu = \displaystyle {\sqrt[{3}]{{-{5}}}} -1 \)
chiede di calcolare le radici complesse del polinomio.
sapendo che una soluzione è proprio quella di partenza che elevo, come faccio a trovare le altre due?
so che il primo punto serve, ma non riesco a capire come arrivare ...
Ciao ragazzi, sto studiando l'argomento posto come titolo e non essendo per niente bravo non riesco a capire dove sbaglio...
vi posto il testo:
Decidere se la congruenza 12568x = 14356(mod 20) è compatibile, in tal caso determinare tutte le congruenze non congruenti tra loro modulo 20.
Dunque, intanto una delucidazione, cosa vuol dire "compatibile"?
ecco come ho provato a risolverla:
$12568x*20y-=14356$
ho ottenuto il MCD(12568,20) con le divisioni ...
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