[Logica] Esercizio

[hamming_burst]

Sto un po' rivedendo logica ed altro, vorrei sapere come porre in modo corretto questo esercizio.

Definire e dimostrare una proprietà (relazione) binaria $p(x,y)$ sui numeri naturali tale che valga:
\( \text{t} ::= \forall x \in \mathbb{N}.\exists y \in \mathbb{N}\ | \ p(x,y)\)
\( \text{q} ::= \not\ \exists y \in \mathbb{N}.\forall x \in \mathbb{N}\ | \ p(x,y)\)

Definisco $p(x,y) :::= x < y$ come una relazione d'ordine.

I passi corretti da fare sono:
1. dimostrare separatamente $t$ e $q$ se valgono sulla proprietà $p$
2. dimostrare se $t \Leftrightarrow q$ vale.

Il modo corretto di procedere è dimostrare se vale $t$ e $q$ su $p$ oppure tutto insieme?

Ringrazio.

[garnak.olegovitc1]

Salve hamming_burst,

"hamming_burst":Sto un po' rivedendo logica ed altro, vorrei sapere come porre in modo corretto questo esercizio.

Definire e dimostrare una proprietà (relazione) binaria $p(x,y)$ sui numeri naturali tale che valga:
\( \text{t} ::= \forall x \in \mathbb{N}.\exists y \in \mathbb{N}\ | \ p(x,y)\)
\( \text{q} ::= \not\ \exists y \in \mathbb{N}.\forall x \in \mathbb{N}\ | \ p(x,y)\)

Definisco $p(x,y) :::= x < y$ come una relazione d'ordine.

I passi corretti da fare sono:
1. dimostrare separatamente $t$ e $q$ se valgono sulla proprietà $p$
2. dimostrare se $t \Leftrightarrow q$ vale.

Il modo corretto di procedere è dimostrare se vale $t$ e $q$ su $p$ oppure tutto insieme?

Ringrazio.

quel \(\ \not\ \exists y \) è forse $ \nexists y$??

Cordiali saluti

[perplesso1]

"hamming_burst":Definisco p(x,y)::=x
Non è più facile se scegli la relazione identica $p(a,b) ::= (a=b)$ ? In questo modo $t$ vale scegliendo $y=x$ mentre $q$ vale perchè $x \ne x+1$ per ogni $x \in NN$.

"garnak.olegovitc":
I passi corretti da fare sono:
1. dimostrare separatamente t e q se valgono sulla proprietà p
2. dimostrare se t⇔q vale.

Ti posso chiedere a che serve dimostrare il secondo punto ? A me non sembra che la traccia te lo chieda, ho capito male?

Un ultima cosa, solo per capire su che piano stiamo ragionando, quando dici "dimostrare" intendi una dimostrazione discorsiva oppure una formale attraverso il calcolo logico? tipo deduzione naturale, calcolo di Hilbert, sequent rules etc etc robe del genere ? (e in questo caso dovresti dirci con quali assiomi definisci $NN$ ... )

[hamming_burst]

"garnak.olegovitc":
quel \(\ \not\ \exists y \) è forse $ \nexists y$??

certo

"perplesso":[quote="hamming_burst"]Definisco p(x,y)::=x
Non è più facile se scegli la relazione identica $p(a,b) ::= (a=b)$ ? In questo modo $t$ vale scegliendo $y=x$ mentre $q$ vale perchè $x \ne x+1$ per ogni $x \in NN$.[/quote]
sì, direi che vale anche questa.

[/quote]

Ti posso chiedere a che serve dimostrare il secondo punto ? A me non sembra che la traccia te lo chieda, ho capito male?

infatti ho chiesto per questo, se bisogna pensare di risolvere tale esercizio anche con tale ragionamento.

Un ultima cosa, solo per capire su che piano stiamo ragionando, quando dici "dimostrare" intendi una dimostrazione discorsiva oppure una formale attraverso il calcolo logico? tipo deduzione naturale, calcolo di Hilbert, sequent rules etc etc robe del genere ? (e in questo caso dovresti dirci con quali assiomi definisci $NN$ ... )

io avrei utilizzato o classici costrutti logici (implicazione, coimplicazione, ...) oppure per assurdo. Questo è il primo paragrafo di una dispensa di logica perciò penso, per il momento si utilizzino, solo costrutti basilari.

Perciò se per il punto 2. non serve. Devo dimostrare SOLO che $t$ vale/non vale per $p$ e $q$ rispettivamente. Non se ci sia relazione tra $t$ e $q$. Giusto?

[perplesso1]

"hamming_burst":Devo dimostrare SOLO che t vale/non vale per p e q rispettivamente. Non se ci sia relazione tra t e q. Giusto?

Secondo me si. Devi solo motivare la validità di $t$ e $q$ per la proprietà $p$. La dispensa di cui parli è online ? magari leggendola ti si può aiutare ancora meglio.