Generatori gruppo alterno
ciao a tutti, sono un laureando in matematica ed avrei bisogno di un aiuto..qualcuno saprebbe dimostrarmi che il gruppo alterno A5 è generato dalle permutazioni (1,2,3,4,5) e (2,3)(4,5)?? non credo sia niente di difficile, però la mia tesi è in geometria e non ho tanto allenamento con le permutazioni..grazie in anticipo!!
Risposte
getto un'idea. Non so se è corretta.
Puoi considerare $K=<(1,2,3,4,5)>$ e $H=<(2,3)(4,5)> $e verificare che $HK = { \sigma = \tau\omega in HK | \tau in H , \omega in K}$ è un gruppo
dopo di che verificare che $AA \sigma in HK$, $\sigma$ è pari. In questo modo verificheresti che $HKsubeA_5$
dopo trovare $KnnH$ e $o(KnnH)$
e dopo trovare la cardinalità di $HK$ che è data da $ (o(K)*o(H))/(o(HnnK))$ e verificare se è uguale alla cardinalità di $A_5$.
Se sono uguali, allora $A_5 sube HK$ e quindi avresti mostrato che $A_5$ è generato da quelle due permutazioni.
che ne dici?
Puoi considerare $K=<(1,2,3,4,5)>$ e $H=<(2,3)(4,5)> $e verificare che $HK = { \sigma = \tau\omega in HK | \tau in H , \omega in K}$ è un gruppo
dopo di che verificare che $AA \sigma in HK$, $\sigma$ è pari. In questo modo verificheresti che $HKsubeA_5$
dopo trovare $KnnH$ e $o(KnnH)$
e dopo trovare la cardinalità di $HK$ che è data da $ (o(K)*o(H))/(o(HnnK))$ e verificare se è uguale alla cardinalità di $A_5$.
Se sono uguali, allora $A_5 sube HK$ e quindi avresti mostrato che $A_5$ è generato da quelle due permutazioni.
che ne dici?
Ci sono vari modi. Il più semplice mi sembra sia osservare che [tex](12345)(23)(45) = (135)[/tex] e ragionare sull'ordine del sottogruppo generato usando il teorema di Lagrange. L'idea è che se dimostri che il sottogruppo generato dalle tue due permutazioni (chiamiamolo [tex]H[/tex]) ha ordine divisibile per 3,4 e 5 allora è divisibile per [tex]3 \cdot 4 \cdot 5 = 60[/tex], cioè è uguale ad [tex]A_5[/tex]. L'uguaglianza di sopra dimostra che [tex]|H|[/tex] è divisibile per 2,3 e 5, cioè per 30, ora prova a concludere.
@Kashaman: il tuo [tex]HK[/tex] non è un sottogruppo, altrimenti essendo [tex]H \cap K = \{1\}[/tex] risulta [tex]|HK| = |H| \cdot |K| = 20[/tex].
@Kashaman: il tuo [tex]HK[/tex] non è un sottogruppo, altrimenti essendo [tex]H \cap K = \{1\}[/tex] risulta [tex]|HK| = |H| \cdot |K| = 20[/tex].
sorry martino
"Martino":
Ci sono vari modi. Il più semplice mi sembra sia osservare che [tex](12345)(23)(45) = (135)[/tex] e ragionare sull'ordine del sottogruppo generato usando il teorema di Lagrange. L'idea è che se dimostri che il sottogruppo generato dalle tue due permutazioni (chiamiamolo [tex]H[/tex]) ha ordine divisibile per 3,4 e 5 allora è divisibile per [tex]3 \cdot 4 \cdot 5 = 60[/tex], cioè è uguale ad [tex]A_5[/tex]. L'uguaglianza di sopra dimostra che [tex]|H|[/tex] è divisibile per 2,3 e 5, cioè per 30, ora prova a concludere.
@Kashaman: il tuo [tex]HK[/tex] non è un sottogruppo, altrimenti essendo [tex]H \cap K = \{1\}[/tex] risulta [tex]|HK| = |H| \cdot |K| = 20[/tex].
ha ordine divisibile per 2,3,5..perchè per 4??
"mbru":Non l'ho scritto, l'ho appunto lasciato da fare a te
ha ordine divisibile per 2,3,5..perchè per 4??
perchè se avesse ordine 30 sarebbe un sottogruppo di ordine 2, ma ciò non è possibile perchè A5 è semplice..giusto??
"mbru":
perchè se avesse ordine 30 sarebbe un sottogruppo di ordine 2, ma ciò non è possibile perchè A5 è semplice..giusto??
indice 2, pardon
Sì è corretto. Se non vuoi usare il fatto che [tex]A_5[/tex] è semplice devi trovare un sottogruppo di ordine 4, con un po' di (noioso) lavoro si riesce a fare.
"Martino":
Sì è corretto. Se non vuoi usare il fatto che [tex]A_5[/tex] è semplice devi trovare un sottogruppo di ordine 4, con un po' di (noioso) lavoro si riesce a fare.
sto lavorando proprio sulla semplicità di A5, quindi va bene così. Ti ringrazio tanto!!
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