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Esercizio - Calcolare autovalori e autovettori della matrice \(\mathbb{A}\) e calcolare la soluzione generale della seguente equazione differenziale vettoriale: \[\frac{\text{d}}{\text{d}x} \mathbf{y} =\mathbb{A} \mathbf{y}\] dove \[\mathbb{A}=\left[\begin{matrix}4 & -2 \\ 8 & -4\end{matrix}\right]\] e la funzione incognita \(\mathbf{y}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\) Soluzione - \[\mathbf{y}=C_1\left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] +C_2 \left (\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 ...

Ho un ciclo che è formato da un'espansione libera, un'adiabatica irreversibile e un'isobara reversibile; chiaramente l'entropia dell'Universo aumenta, però il libro dice che la varazione di entropia dell'Universo è quella calcolata lungo l'isobara..Perché??E poi la variazione di entropia di un gas è zero pure se un ciclio è irreversibile?

Salve a tutti , ho il seguente esercizio: http://postimg.org/image/onkwgawnl/ Lo posto su quel sito perché il testo dell'esercizio include tabelle. In pratica devo verificare che quelle operazioni definiscono un campo sull'insieme $F_4$, solo che una delle condizioni affinché un insieme sia un campo è che deve esistere l'inverso additivo e moltiplicato per ogni elemento dell'insieme. Non so se la domanda è stupida ma io non li vedo, cioè per l'elemento $1$ dovrebbe starci anche ...

Ciao ragazzi, sto affrontando lo studio di un problema di Cauchy in modo qualitativo. Riporto il testo completo: $\text{Consideriamo il problema di Cauchy:}$ \begin{equation} \begin{cases} y' = \frac{ \tan {y}}{{1 + y^2}} \\ \\ y(0)=y_0 \end{cases} \end{equation} $\text{a)Mostrare che vale esistenza ed unicità locale e determinare, se esistono, soluzioni costanti.}$ $\text{b)Determinare le regioni di}$ $D$ $\text{nelle quali le soluzioni sono crescenti e quelle nelle quali sono decrescenti.}$ $\text{Sia ora }\phi : (\alpha;\beta) \rightarrow \mathbb{R}\text{ la soluzione massimale relativa ad } y_0 \in (0;\frac{\pi}{2}).$ $\text{c)Mostrare che }\phi\text{ è monotona; dedurne che}$ $\alpha=-infty$ $\text{e calcolare}$ $\phi(-infty).$ $\text{d)Mostrare che}$ $\beta<+infty$ ...

Buonasera, guardando degli esercizi di algebra mi sono trovato questo testo: [math] 5x^2-y^2+8xy+5z^2-5z-2=0 [/math] mi chiede di riconoscere la quadrica e di portarla in forma canonica, ora ad un certo punto l'esercizio trova la "forma canonica" (fra virgolette perchè a quanto pare non è ancora in forma canonica) e scrive: Effettuando infine la rotazione che lascia fisso y, manda x in z e z in -x otteniamo: etc etc ora, tutto il procedimento dell'esercizio l'ho capito tranne l'ultima parte della ...

Non mi e' mai capitato di vedere che la derivata di un versore e' uguale alla velocita' angolare. Ecco dove ho trovato una cosa del genere: Il testo dice che deve giustamente essere : $(P-O)= s hat(t)$ Se io derivo questo $(P-O)$, avrò la velocità del punto: $v_P = dot(s) hat(t) + s(dhat(t))/(dt)$ si tratta di una derivata di funzione composta, e non ho problemi a comprendere una cosa del genere. Ma poi vedo che associa il fatto che $(dhat(t))/(dt)= omega$ Ma come fa a dire una cosa del genere ...

Buongiorno, come da titolo ho un dubbio sull'applicazione del teorema di de l'Hopital: in particolare, mi viene chiesto di studiare un limite nella forma $ lim_(x -> 0) (f(x)+a)/sinx $, dove $ f(0)=-a, f'(0)=b $; di primo acchito mi verrebbe in mente di usare la regola di De L'Hopital, tuttavia, avendo visto controesempi come questo http://matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=120189#p784265, mi chiedo se ciò sia lecito: in particolare la funzione del controesempio linkato non soddisfa l'ipotesi di derivabilità in un intorno di 0, e quindi (se non ...

Salve ragazzi sono alle prese con un problema sicuramente semplice ma visto che devo basarmi esclusivamente sui miei apounti anche questo per me diventa difficile,la traccia e la seguente: E stato misurato 10 volte il tempo di caduta t di un oggetto da una altezza h,ottenendo i seguenti risultati: 0,99;0,99;1,00;1,00;1,01;1,01;1,01;1,02;1,02;1,03 L altezza misurata é $h=(5,00+-0,01)m$.Calcolare la migliore stima dell accelerazione di gravità e la sua incertezza. Usando la formula ...

Ciao a tutti, il mio problema è il seguente: sia $u \in W^(1,p)$, la sua norma è data da: $ ||u||_(W^(1,p))= ||u||_(L^p)+sum_(i=1)^N||D_iu||_(L^p) $ A lezione ci è stato detto che per trovare una norma equivalente si può far ricorso al seguente teorema: Siano $N \in NN $ e $\alpha>0$. Allora esistono $\mu_1=\mu_1(N,\alpha)>0$ e $\mu_2=\mu_2(N,\alpha)>0$ tali che per ogni ennupla $(a_1,...,a_N)$ con $a_i>0$ vale che: $ \mu_1\sum_(i=1)^Na_i^\alpha\leq(\sum_(i=1)^Na_i)^alpha\leq\mu_2\sum_(i=1)^Na_i^\alpha $ Questo teorema lo applichiamo a $sum_(i=1)^n||D_iu||_(L^p)$ e otteniamo: ...

Se una funzione è invertibile, non basta dire che è solo iniettiva deve essere sia iniettiva e suriettiva giusto? Si può dire allora che una funzione è invertibile se è uniformemente continua? Avevo pensato al teorema che dice che se una funzione è uniformemente continua, allora ha derivata non limitata.

Qualcuno può darmi delucidazioni a riguardo, magari illustrandomi passo passo la soluzione.

Salve! Piacere di Conoscervi Ho un dubbio su una matrice diagonalizzabile. Sto svolgendo un tema d'esame(dello scorso appello) in vista della prossima seduta(Lunedì) e mi è sorto un dubbio. L'ultimo punto dell'esercizio chiede: Indicata con A la matrice Mee(f) associata ad f rispetto alla base canonica, stabilire se A risulta diagonalizzabile e , in caso affermativo, determinare una matrice P diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale D, a cui risulta ...

Salve ragazzi, volevo una vostra opinione su questo quesito di teoria: E' vero che Ogni curva $ C^oo $ nel piano e localmente il grafico di una funzione sull'asse delle ascisse oppure delle ordinate? Io credo di no, perchè la condizione necessaria affichè esista un intorno di $ t_o $ tale che la curva ristretta a tale intorno sia il grafico su almeno un asse coordinato è che la curva sia regolare... Voi che dite? Un'altra cosa: mi sapreste spiegare perchè la funzione ...

Salve a tutti, ho questa funzione che dovrei sviluppare in serie di Fourier..quindi trovare i coefficienti e applicare la formula. $ f= abs(x) + sin(x) ; x in [-PI, PI) $ allora, questa funzione non so se è pari o dispari..come si capisce? il grafico mi risulta difficile ma ad occhio e croce non dire ma non ne sono sicuro. per trovare Ao, Ak e Bk sdoppio la funzione e faccio integrale da 0 a PI considerando la X in modulo positiva e sommo il tutto a un integrale da -PI a 0 cosniderando le X negative ...

Salve, ho una curiosità circa il collegamento di due condensatori in parallelo. In un problema viene richiesto il commento circa il segno della variazione di energia potenziale dopo il collegamento tra due condensatori. Precisamente dice "Dati due condensatori, di capacità C1=20 pF e C2=30 pF, entrambi con una armatura collegata a terra e l'altra collegata ad un morsetto di potenziali rispettivamente V1=500 V e V2=100V questi vengono collegati tramite l'armatura libera e raggiungono un ...

Ciao a tutti! Sto cercando di risolvere un'equazione con radici complesse, in teoria è semplicissima ma c'è un errore che non riesco proprio a trovare, sicuramente stupido. L'equazione è $z^4 + z^2 + 1 = 0$, ho posto $y = z^2$ e ho risolto l'equazione di secondo grado, ottenendo $y = -1/2 + sqrt(3)/2 i$ e $y = -1/2 - sqrt(3)/2 i$. Per trovare le soluzioni di z ho usato la formula di De Moivre, che mi dà i seguenti risultati: $z_1 = e^(i pi/6) = sqrt(3)/2 + i/2$ $z_1 = e^(i pi 7/6) = -sqrt(3)/2 - i/2$ $z_1 = e^(-i pi/6) = sqrt(3)/2 - i/2$ $z_1 = e^(-i pi 7/6) = -sqrt(3)/2 + i/2$ Il ...

Nella seguente: Non sto capendo come arriva a dire che la coordinata $y$ del punto $H$ sia proprio $x_B tan theta$

ciao ragazzi ! ho un problemino da sottoporvi riguardate delle intersezioni: un esercizio chiede di trovare il piano che passa per i punti : A (4,0,1) e B (4,2,-1) e tangente alla sfera di equazione: $ x^2+y^2+z^2=4 $ Ho costruito un fascio di piani con asse AB che risulta essere: $ \lambdax+\muy+\muz-4\lamda-2\mu=0 $ A questo punto mi blocco, il massimo che riesco a pensare è di fare un intersezione, quindi un sistema tra il fascio di piani e la sfera, ma non se ne esce fuori! qualche suggerimento? Secondo ...

Buonasera, ho passato una giornata intera sopra a questo problema, non essendone venuto a capo chiederei un aiuto. Questo è il problema: determinare il campo elettrostatico generato da un filo di vetro carico per strofinio disposto ad anello su un piano, su un punto $P$ situato lungo l'asse $y$. Per evitare di complicarmi la vita dettagliando la consegna, ecco qui un disegno http://postimg.org/image/uic5r7dln/ Sul mio libro e anche su internet trovo solo la versione risolta ...

Un calorimetro contiene 300 g di acqua alla temperatura di 20,0 C e ha una capacità termica di $ 70\frac{J}{K} $ . Al suo interno viene introdotto un disco di piombo di massa pari a 30,0 g che è stato riscaldato e si trova alla temperatura di 100 C. Calcola la temperatura di equilibrio del sistema formato da acqua, dal calorimetro e dal pezzo di piombo. (19,8 C) [ndr: il calore specifico del piombo è dato a ...