Valutazioni discrete e domini di Dedekind

[bogianen]

Ho un problema con il seguente esercizio. Vengono dati $K$ estensione finita di $\mathbb{Q}$, il suo anello degli interi $A_K$ e l'anello $R={x \in K : v_m(x)\geq 0 \forall m \in Max(A_K)}$, dove $v_m(x)$ è l'esponente con cui $m$ compare nella decomposizione in ideali primi di $xA_K$ ($A_K$ è Dedekind quindi fin qui tutto ok). L'esercizio chiede se è vero che $R$ è un dominio di Dedekind.
Credo che la risposta sia si, anche per analogia con le valutazioni $p$-adiche. Tuttavia sono riuscito solamente a mostrare che $R$ è integralmente chiuso (e ovviamente un dominio). Per il resto ho provato a ricalcare le dimostrazioni per le valutazioni $p$-adiche (senza successo) e il fatto che si considerino tutti i massimali mi crea problemi e non so come procedere oltre.

[Studente Anonimo]

Ciao, non ho tempo di verificare i dettagli purtroppo, ma mi sembra un tipico esercizio dove è utile localizzare. Un dominio di Dedekind è precisamente un dominio noetheriano le cui localizzazioni negli ideali massimali sono DVR. Quindi puoi mostrare che nel caso locale (cioè nel caso in cui c'è un unico ideale massimale) il tuo R è addirittura un DVR (e non solo un dominio di Dedekind) e poi argomentare che allora tutti i localizzati sono DVR quindi R è di Dedekind.

[bogianen]

Grazie, non avevo minimamente pensato di localizzare ora provo e spero di risolvere.