Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Si suddivida [0,1] in tre segmenti scegliendo casualmente due punti nell'intervallo, con distribuzione uniforme. Qual e' la lunghezza media del segmento più lungo tra i tre che si sono formati?
Fonte: il problema e' stato dato in un centro di ricerca finanziaria a Londra; dovrebbe esserci una soluzione che non fa uso di metodi estremamente avanzati, ma io non l'ho trovata.
Determinare $r_k(n)=|{(a_1,a_2,...,a_k) \in NN^k|n=a_1+a_2+...+a_k}|$, in altre parole in quanti modi posso scrivere $n$ come somma di esattamente $k$ naturali considerando l'ordine?
Propongo un quesito di cui conosco la risposta (almeno credo).
Siano ${a_{n}}_n$ una successione in $\mathbb{R}$ con $a_{n}>0$, $a_{n+1}>a_{n}$ per ogni $n\in \mathbb{N}$ e $a_{n}\rightarrow a\in\mathbb{R}$, e $\sum_{n\ge 0}c_{n}=c\in\mathbb{R}$, con $c_{n}>0$, $c_{n+1}<c_{n}$ per ogni $n\in \mathbb{N}$.
Sia $\Lambda:=(\cup_{i\ge 0}{a_{n}+c_{i}}_{n})\cup{a+c_{i}}_{i}\cup{a_{n}}_n\cup{a}$ (qui, ad esempio, ${a_{n}}_n={a_{0},a_{1},\ldots,a_m,\ldots}$).
Domande:
(1) $\Lambda$ può essere chiuso in $\mathbb{R}$?
(2) Calcolare la cardinalità ...
Dimostrare la non esistenza, o meno, di $\lim_{n\rightarrow \infty}\cos (2^{n})$.
(Non conosco alcuna dimostrazione al riguardo). Avete, per favore, qualche suggerimento?
Salve, innanzitutto mi scuso se ho utilizzato la sezione sbagliata per questa domanda.
La questione è questa, perché \(\displaystyle |sen{z^{2})| \) non è una funzione olomora? Cioè come devo far vedere se la funzione è olomorfa oppure no?
Salve!
Conoscete una dimostrazione del fatto che $\{sin(n)\ |\ n \in NN\}$ è denso in [-1,1] ? Chiedo in particolare a Gaal Dornick, che ha accennato qui ad una dimostrazione che faceva uso della caratterizzazione topologica dei sottogruppi additivi di $RR$ (se ho capito bene), quale sia questa dimostrazione (anche a grandi linee).
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Studente Anonimo
9 apr 2008, 19:51
$\mathbb{N}$ ,dotato della metrica $d(n,m)=|n-m|$, è uno spazio metrico completo?
Posto $N_{\epsilon}:={ x\in \mathbb{N}^{+}:\cos (2^{x})\geq 1-\epsilon }$, è vero che
$N_{\epsilon}\ne \emptyset$ per ogni $\epsilon\in ]0,1[$ ? (la risposta mi è ignota)
Sia $\mathcal{C}[0,1]:=\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}, f\in C^{0}[0,1], f(0)=f(1)=0$, $f$ $C^{1}$ a tratti
(cioè esiste $F\subset [0,1]$ finito per cui $f\in C^{1}$ ($[0,1]∖ F$ ))$ \}$.
Dalla teoria sappiamo che se $f\in C[0,1]$ allora $f$ è rettificabile, indichremo quindi con $l(f)$ la lunghezza di $f$.
Fissata una $\bar{f} \in\mathcal{C}[0,1]$, sia $\{f_{n}\}_{n}\subset\mathcal{C}[0,1]$ una successione
di funzioni tale che $\lim_{n\rightarrow \infty}f_{n}=\bar{f}$ uniformemente. Allora è vero
che ...
Problema:
1. Un serbatoio cilindrico (circolare retto) di raggio $R>0$ ed altezza $H>0$ è riempito di un liquido di densità uniforme \(\rho >0\).
Sul fondo del serbatoio è aperto un "piccolo" foro.
Si può determinare la velocità di deflusso del liquido dal serbatoio?
2. Cosa cambia se il serbatoio ha la forma di un cono (circolare retto) col vertice verso il basso ed il foro è praticato nel vertice?
3. Cosa cambia se il serbatoio conico ha il vertice in alto e il foro ...
Vi propongo un problema che mi venne in mente circa un anno fa.
Sia $C$ un sottoinsieme convesso e limitato di $RR^n$, \(n\ge 2\). Sia $r$ una retta che intersechi l'interno di $C$ (che dunque è non vuoto). È vero o no che $r$ interseca sempre la frontiera di $C$ in esattamente due punti?
Credo che la risposta sia affermativa. Dimostrare che i punti d'intersezione sono almeno due è piuttosto facile, ma non conosco ...
L'assioma della scelta dice " Se $A$ è un insieme non vuoto e supponiamo che anche i suoi elementi siano tutti insiemi non vuoti, allora esiste un'applicazione $f : A \rightarrow f(A) $ tale che $f(x) \in x$ per ogni $x \in A$ ".
E' giusta questa formulazione ? E se è giusta perché ad esempio una dimostrazione del tipo " Se $x \in A$, allora $x$ per ipotesi non è vuoto, quindi esiste un $z \in x$. Scriviamo $A=\{ x_{i}:i \in I\}$ cosicché ...
Bè...è una calda mattina d'estate...e io cosa posso fare di bello? Mi vedo qualche prova della Normale
Bè io ho cominciato da questa, ma la traccia è alquanto ambigua e arrivare ad una soluzione sembra difficile...
Ecco il problema
Impostare algebricamente, in modo completo, il seguete problema, trovando un sistema misto di equazioni e disequazioni(almeno una delle une e una delle altre) che sia equivalente al problema stesso.
Problema: Costruire un triangolo rettangolo conoscendo la ...
Salve a tutti, mi servirebbe una dimostrazione/riferimento bibliografico inerente al quantitativo $n$ di primi presenti in un insieme di $100$ naturali consecutivi [$k$,$k+99$]. E' banale provare che non ce ne sono per $k>26$, se $k=26$, $n=1$ e se $k=25$, $n=6$. Per $k=24$, $n$ è finito e dovrebbe essere pari a $10$... correggetemi se sbaglio. Ma ...
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Studente Anonimo
10 ago 2015, 19:46
Ciao. a tutti..
cosa bisogna sapere .. per studiare la funzione Zeta di Riemann.
all'università abbiamo fatto un corso di analisi complessa di 6 crediti, fino alle serie di Laurent...
è sufficiente o bisogna studiare di più ??
conoscete dei libri che introducono all'argomento ??
Grazie...
––> Figura_quiz.png
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P.S. (Editando)
Oops!
Ho cambiato la figura (per correggere la formula).
In quella precedente (quasi identica a questa) c'era qualche π di troppo .
Precisamente, ci stava il rapporto
x + (4kπ + 1)·(π/2)
________________
x + (4kπ – 1) ·(π/2)
Chiedo scusa per la terribile (nefanda!) svista ...
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Seguendo la definizione di misura esterna di un insieme \(\displaystyle E \) come \(\displaystyle inf \{\sum l(I_k)\}\) dove gli \(\displaystyle I_k \) sono una famiglia al più numerabile di intervalli tale che \(\displaystyle \bigcup_k I_k \supset E\), è possibile (immagino di no, ma non lo so motivare) definire la misura interna di \(\displaystyle E \) come \(\displaystyle sup\{\sum l(J_k)\} \) dove i \(\displaystyle J_k \) sono una famiglia al più numerabile di intervalli la cui unione ...
Salve, ho già posto questo problema nella sezione d'analisi senza successo, provo qui.
Cerco un esempio di prodotto scalare (su uno spazio di hilbert complesso, ad esempio) per cui il prodotto scalare di due vettori reali non sia reale. Oppure uno spazio di Hilbert che non sia isomorfo come spazio di Hilbert al suo coniugato.
Questa fissa mi è venuta perchè sento sempre dire che il duale di uno spazio di Hilbert è isomorfo (come spazio di Hilbert, ovvero esiste una trasformazione unitaria) al ...
Ciao, propongo un quesito, non so se ha senso ma mi è venuto in mente per caso.
Sia $a \in \RR, a > 0$. Definiamo l'insieme:
$B(a) := {b \in \RR, b > a \ : \AA k \in \RR, k \in (0,a) \EE n \in \NN \ : nk \in [a,b]} \subseteq (a,oo)$
e denotiamo con $|B(a)|$ la misura di Lebesgue sui reali.
Domande:
- Calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{inf}} |B(a)|[/tex]; esiste $\min_{a} |B(a)|$? se sì, calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{argmin}} |B(a)|[/tex]
- Calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{sup}} |B(a)|[/tex]; esiste $\max_{a} |B(a)|$? se sì, calcolare ...
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