Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Tre lati di un quadrilatero misurano rispettivamente 2,69,92 cm. Il quarto lato potrà misurare cm : 79, 96 ,153, 16
La risposta è 153, ma non potrebbe essere anche 96 visto che il lato deve essere compreso tra 90 e 163 per le proprietà dei quadrilateri?
Quanti sono i monomi di grado [tex]m[/tex] con [tex]n[/tex] variabili?
In altre parole, quante sono le espressioni del tipo [tex]{x_1}^{a_1}...{x_n}^{a_n}[/tex] con [tex]a_1+...+a_n=m[/tex]?
Vi propongo di calcolare questo numero come piu' vi piace. Io inaspettatamente sono riuscito a trovarlo solo con l'ausilio dell'analisi.
Ci dev'essere per forza pero' una dimostrazione puramente combinatoria.
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Studente Anonimo
11 nov 2010, 18:30
Esercizio
Provare che è possibile "incollare" un aperto \(E\subseteq \mathbb{R}^2\) limitato e connesso su un qualsiasi cerchio \(E^\star\) aperto avente la medesima misura.
In termini più precisi, provare che, se \(\operatorname{m}(E) < + \infty\), costruire esplicitamente ("con le mani") un'applicazione \(\mathbf{f} :E\to E^\star\) biiettiva e continua.
1) Sia $f:RR^2 -> RR$ tale che $f(A)+f(B)+f(C)+f(D) = 0$ per ogni $\{A,B,C,D\}$ vertici di un quadrato.
Possiamo dedurre che $f(P) = 0$ per ogni $P in RR^2$?
2) Stessa domanda se invece vale la relazione $f(A)+f(B)+f(C) = 0$ per ogni $\{A,B,C\}$ vertici di un triangolo equilatero.
3) Cosa si può dire in caso di relazioni analoghe definite su altri poligoni regolari?
Traduco da [AM]:Teorema 8.7 (teorema di struttura degli anelli artiniani). Un anello di Artin [cioè artiniano, NdT] è unicamente (a meno di isomorfismi) il prodotto diretto finito di anelli locali di Artin. e segue la dimostrazione, che francamente non mi piace!
Propongo la dimostrazione di questo teorema, come conseguenza di alcuni esercizi tratti da [Bo][nota]Per esercizio a.b.c intendo l'esercizio dal capitolo a, dalla sezione b, con numero c. Idem per i teoremi & ...
Scusate per possibili errori nella formulazione della domanda:
Siano
$a(x,y)$
$b(x,y)$
$c(x,y)$
$d(x,y)$
quattro funzioni in due variabili definite in tutto $NN$, e sia, per ogni $x,y in NN$,
\begin{cases}
a(x,y)≤c(x,y) \\[2ex]
b(x,y)≤d(x,y) \\[2ex]
d(x,y)≤c(x,y)
\end{cases}
E' possibile con questi dati, definire una disuguaglianza
$a(x,y)-b(x,y)≤?$
Dove al posto di $?$ non compaia ne $a(x,y)$ ne ...
il nuovo professore di matematica ha esordito così:
al di là dei simboli, perchè 2+2=4?
anche per un alieno che vive a miliardi di anni luce da noi, vale la stesso risultato?
in natura, ci sono esempi in cui 1+1=0 oppure 1+1=1 ?
naturalmente non conta cambiare base numerica
risposte all'apparenza banali, ma ne siamo davvero sicuri?
mi sembrano domande che suggeriscono la risposta.
io fino a una settimana fa avrei detto:
SI, ANCHE PER UN ALIENO 2+2=4 e NO, IN NATURA 1+1 NON FA 0.
ma oggi ho ...
Sia \(\displaystyle R\) il sottoanello di \(\displaystyle\mathbb{Q}[x]\) composto dai polinomi \(\displaystyle f\) tali che:
\[
f(\mathbb{Z})\subseteq\mathbb{Z}
\]
e definiti:
\[
f_{-1}=0,f_0=1,\\
\forall n\in\mathbb{N},\,f_n(x)=\frac{1}{n!}x(x-1)\cdot...\cdot(x-n+1)\in\mathbb{Q}[x],
\]
dimostrare che:
[list=1]
[*:1em69zx7] \(\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}_0,\,f_n\in R\);[/*:m:1em69zx7]
[*:1em69zx7] il sistema \(\displaystyle\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}_0}\) è una ...
Salve a tutti, è da un (bel) po' che circolo su questo forum senza in realtà mai aver avuto bisogno di scrivere (c'era sempre qualcuno che aveva avuto i miei stessi dubbi o qualcosa di vicino e ci potevo lavorare su)
Vorrei risolvere questa equazione (viene da problemi di viscoelasticità):
\(\displaystyle
\partial_{y} u(x,y) + \partial_{x} u(x,y) + \int_{0}^{x} r(x-s)u(s,y) ds = 0
\)
in $(0,+infty) \times (0,+infty) $ con $u(0,y)=\delta(y)$ e $u(x,0)= 0$
Questo è quanto ho provato
Usando la ...
"Si sostiene talvolta che noi usiamo il sistema decimale di numerazione (per cui, per esempio, $362$ significa $3*10^2+6*10+2$) in quanto abbiamo dieci dita.
Un marziano, dopo aver vista scritta l'equazione:
$x^2-16*x+41=0$,
invitato a scrivere la differenza delle radici, scrive $10$.
Quante dita hanno i marziani?
NB: per i numeri compresi fra 0 e 6 la scrittura dei marziani coincide con la nostra."
Io ho risolto questo esercizio sostanzialmente a tentativi, ...
La serie:
$F(x) = sin(x)-(sin^3(x))/3 +(sin^5(x))/5-(sin^7(x))/7+ ... +(-1)^n(sin^(2n+1)(x))/(2n+1)+...$
converge in ogni $x$ reale [perché è a segni alterni e l'addendo corrente è infinitesimo].
a) A quale funzione converge la serie $F(x)$ ?
[$F(x) = $???]
Lo sviluppo di F(x) in serie di Fourier è del tipo:
$F(x) = S_1sin(x) + S_3sin(3x) + S_5sin(5x) + ... + S_(2n+1)sin[(2n+1)x]+...$
b) Qual è l'effettivo sviluppo in serie di Fourier di $F(x)$ ?
[$S_(2n+1) = $???]
1.Essendo ogni addendo funzione periodica di periodo $2π$, $F(x)$ è pure periodica di ...
Sulle origini della ben nota costante e=2,71828 ..., numero irrazionale e trascendente, definito come limite di una nota funzione o come somma di una altrettanto nota serie non trovo spiegazioni esaurienti. Si vaga fra citazioni a documenti di Nepero, Briggs, Eulero e altri senza entrare nel merito delle congetture o delle intuizioni dei pensatori del XVII secolo che hanno portato alla definizione del celeberrimo numero “e”. Sono pertanto alla ricerca di riferimenti bibliografici e/o ...
Problema: Sia $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ definita da
\[
F(x,y):= xye^x+ye^y-e^x+1
\]
e sia $C$ l'insieme degli zeri di $F$:
\[
C:=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : F(x,y)=0\right\}
\]
Sia $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^2$ in un intorno di $(0,0)$ e tale che il gradiente $\nabla f$ e la matrice Hessiana $H$ di $f$ in $(0,0)$ sono dati da
\[
\nabla f(0,0)= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} \ \ \ ...
Magari sarà la domanda più stupida del mondo, inoltre non sapevo in che sezione metterla quindi...
Data una tesi da dimostrare e delle ipotesi di base quante saranno le possibili dimostrazioni? Avranno cardinalita finita o infinita?
Fate il parallelismo con le matrici e le possibili soluzioni dato un sistema di equazioni.
Sinceramente non saprei neanche come partire e se la domanda è stupida chiedo venia
Ciao, mi è venuta in mente questa cosa oggi nulla di che
Prendiamo un insieme $P$ finito di punti (a tre a tre non allineati, per semplicità) in $R^2$ ed il suo inviluppo convesso $C$ (il più piccolo convesso contenente questi punti). Scegliamo ora una direzionene e troviamo le rette parallele $r_1$ ed $r_2$ che, "come un calibro", racchiudano l'insieme di punti $P$ (spero la descrizione sia chiara).
Ci saranno dei ...
Esercizio:
Siano \(I=(a,b)\) un intervallo non ridotto ad un punto ed \(f:I\to \mathbb{R}\) convessa.
1. Provare che se \(I\) è dotato di minimo, i.e. se \(a\in I\), e se \(\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) = l\) allora:
\[
l\leq f(a)\; .
\]
2. In ogni caso, è vero o no che \(\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)\) esiste sempre (finiti o infiniti che siano e \(a\) ed il limite)?
Buongiorno, mi servirebbe una mano
E' possibile dimostrare quanti fattori $2$ al massimo possano essere presenti in un dato intervallo $n^2$, $(n+1)^2$, $n in NN$?
Esempi:
Tra $4$ e $9$: abbiamo $5,6,7,8 ( 6="2"*3, 8="2^3"$), gli altri sono dispari, quindi $4$ fattori $2$;
$9 - 16$: $4$;
$16 - 25$: $7$;
$100 - 121$: ...
Esercizio:
Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo (non ridotto ad un punto[nota]Solo per evitare banalità.[/nota]) ed \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione convessa in \(I\).
1. (Principio del Massimo Forte) Se \(f\) prende il suo massimo (assoluto) in un punto interno ad \(I\), allora \(f\) è costante in \(I\).
2. (Principio del Massimo) Se \(f\) prende il suo massimo (assoluto) in \(I\), allora o \(f\) è costante in \(I\) oppure[nota]Qui \(\partial I\) denota l'insieme dei punti di ...
Problema. Sia $f:[0;+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^2$ e sia $g:[0;+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ definita da $g(x):=f(x)-xf'(x)$
(i) Dimostrare che $f$ è convessa se e solo se $g$ è non-crescente.
(ii) Dimostrare che, se $f$ è convessa e
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=+\infty,
\]
allora
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty.
\]
(i)
Dimostro prima l'implicazione $\Leftarrow$. Sia $g$ decrescente, allora $g'(x)\leq 0$. ...
Dati quattro numeri interi positivi $a$, $b$, $c$ e $d$ soggetti alla condizione che ciascuno di essi è minore della somma degli altri tre:
a) risolvere l'equazione in $x$
$asqrt(4x^2 - a^2) + bsqrt(4x^2 - b^2) + csqrt(4x^2 - c^2) + dsqrt(4x^2 - d^2) =$
$= sqrt((-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d))$;
b) dare un'interpretazione geometrica al problema.
–––––––
P.S.
Oops!
Chiedo venia!
C'era un 4 di troppo!
Ho corretto ... sperando che ora vada bene (ma ormai ... non sono più sicuro di niente )
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