Intersezione tra retta e frontiera di un convesso.
Vi propongo un problema che mi venne in mente circa un anno fa.
Sia $C$ un sottoinsieme convesso e limitato di $RR^n$, \(n\ge 2\). Sia $r$ una retta che intersechi l'interno di $C$ (che dunque è non vuoto). È vero o no che $r$ interseca sempre la frontiera di $C$ in esattamente due punti?
Sia $C$ un sottoinsieme convesso e limitato di $RR^n$, \(n\ge 2\). Sia $r$ una retta che intersechi l'interno di $C$ (che dunque è non vuoto). È vero o no che $r$ interseca sempre la frontiera di $C$ in esattamente due punti?
Risposte
Per l'unicità procederei per assurdo, intuitivamente mi verrebbe da pensare che collegando più di due punti appartenti a $\partial C nn r$ si deve necessariamente uscire da $C$ andando contro l'ipotesi di convessità.
Basta applicare la disuguaglianza triangolare $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$ siccome i punti appartengono ad una retta allora vale l'uguaglianza, l'assurdo nasce dal fatto che sotto ipotesi di convessità il segmento che unisce $x$ a $z$ e $z$ a $y$ contiene punti interni a $C$ che non è possibile poiché risulterebbe $d(x,y) < d(x,z)+d(z,y)$
Questa è solo un'idea grossolana...
Basta applicare la disuguaglianza triangolare $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$ siccome i punti appartengono ad una retta allora vale l'uguaglianza, l'assurdo nasce dal fatto che sotto ipotesi di convessità il segmento che unisce $x$ a $z$ e $z$ a $y$ contiene punti interni a $C$ che non è possibile poiché risulterebbe $d(x,y) < d(x,z)+d(z,y)$
Questa è solo un'idea grossolana...
Supponiamo per assurdo che ci siano \(\displaystyle 3 \) punti di frontiera \(\displaystyle a,b,c \) e che \(\displaystyle a
Notiamo che
Notiamo che
- [*:1o0s21dk]\(\displaystyle \forall y\in B(x,\varepsilon) \), \(\displaystyle T(y,0) = a \);[/*:m:1o0s21dk]
[*:1o0s21dk]\(\displaystyle T_1 = T(\bullet, 1) = \mathrm{id}_{B(x,\varepsilon)} \);[/*:m:1o0s21dk]
[*:1o0s21dk] \(\displaystyle Im(T) \in \mathring{C}\cup \{a\} \) per la convessità e per il fatto che l'immagine per ogni \(\displaystyle t\in(0,1] \) è aperta. [/*:m:1o0s21dk][/list:u:1o0s21dk]
A questo punto basta notare che esiste un \(\displaystyle t\in(0,1] \) tale che \(\displaystyle T(x,t) = b \) e notare che \(\displaystyle Im(T_t) = Im\bigl(T(\bullet,t)\bigr) \) è un intorno aperto di \(\displaystyle b \) interamente contenuto in \(\displaystyle \mathring{C} \) contro le ipotesi che \(\displaystyle b\in\partial C \).
"vict85":
\(\displaystyle Im(T) \in \mathring{C}\cup \{a\} \) per la convessità e per il fatto che l'immagine per ogni \(\displaystyle t\in(0,1] \) è aperta.
Scusa ma questa affermazione non mi è chiara.
Per maggiore comprensione uso il grassetto.
Scriviamo \(\displaystyle \mathbf{y} \in B(\mathbf{x},\varepsilon) \) come \(\displaystyle \mathbf{x} + r \varepsilon \mathbf{s} \) con \(\displaystyle \mathbf{s}\in S^{n-1} \) e \(\displaystyle r\in [0,1) \).
Ora \(\displaystyle T(\mathbf{y},t) = (1-t)\mathbf{a} + t\mathbf{x} + r(t\varepsilon)\mathbf{s} \). Insomma, per \(t\neq 0\), \(\displaystyle Im(T_t) = B\bigl((1-t)\mathbf{a} + t\mathbf{x}, t\varepsilon \bigr)\), che è aperto. Inoltre ogni suo punto si trova su un segmento che sai appartenere a \(\displaystyle C \) per la convessità di \(\displaystyle C \). Essendo aperto deve essere contenuto nel suo interno. Nota che \(\displaystyle T_t \) è una trasformazione affine.
Scriviamo \(\displaystyle \mathbf{y} \in B(\mathbf{x},\varepsilon) \) come \(\displaystyle \mathbf{x} + r \varepsilon \mathbf{s} \) con \(\displaystyle \mathbf{s}\in S^{n-1} \) e \(\displaystyle r\in [0,1) \).
Ora \(\displaystyle T(\mathbf{y},t) = (1-t)\mathbf{a} + t\mathbf{x} + r(t\varepsilon)\mathbf{s} \). Insomma, per \(t\neq 0\), \(\displaystyle Im(T_t) = B\bigl((1-t)\mathbf{a} + t\mathbf{x}, t\varepsilon \bigr)\), che è aperto. Inoltre ogni suo punto si trova su un segmento che sai appartenere a \(\displaystyle C \) per la convessità di \(\displaystyle C \). Essendo aperto deve essere contenuto nel suo interno. Nota che \(\displaystyle T_t \) è una trasformazione affine.
Magari mi sfugge qualche proprietà/caratterizzazione, ma la parte che non mi è chiara è questa
So che il segmento congiungente due punti di $C$ è contenuto in $C$, ma $a$ può benissimo non appartenere a $C$.
"vict85":
Inoltre ogni suo punto si trova su un segmento che sai appartenere a \(\displaystyle C \) per la convessità di \(\displaystyle C \).
So che il segmento congiungente due punti di $C$ è contenuto in $C$, ma $a$ può benissimo non appartenere a $C$.
La chiusura di un convesso è confessa. Quello che di fatto ho dimostrato sopra è che dati due elementi della chiusura di un convesso, se almeno un punto del segmento che li unisce è interno allora lo sono tutti (tranne i due estremi).
Al fine di fare una dimostrazione completa, ci sarebbe anche questa parte. Sia \(\displaystyle \bigcap \{[A,B]\subset r : [A,B] \supseteq r\cap C\} \). È facile vedere che è un intervallo chiuso con interno non vuoto. Ed è il più piccolo con quella proprietà.
Pertanto \(\displaystyle A,B\in \partial C \). Inoltre per ogni \(\displaystyle A < P < Q < B \) esistono \(\displaystyle R,S \in r\cap C\) tali che \(\displaystyle A < R < P < Q < S < B \). Per la convessità di \(\displaystyle C \) ho che \(\displaystyle [R,S]\subset r\cap C \). Procedendo al limite ho che \(\displaystyle (A,B) \subseteq r\cap C \subseteq [A,B] \).
Al fine di fare una dimostrazione completa, ci sarebbe anche questa parte. Sia \(\displaystyle \bigcap \{[A,B]\subset r : [A,B] \supseteq r\cap C\} \). È facile vedere che è un intervallo chiuso con interno non vuoto. Ed è il più piccolo con quella proprietà.
Pertanto \(\displaystyle A,B\in \partial C \). Inoltre per ogni \(\displaystyle A < P < Q < B \) esistono \(\displaystyle R,S \in r\cap C\) tali che \(\displaystyle A < R < P < Q < S < B \). Per la convessità di \(\displaystyle C \) ho che \(\displaystyle [R,S]\subset r\cap C \). Procedendo al limite ho che \(\displaystyle (A,B) \subseteq r\cap C \subseteq [A,B] \).
Credo di aver capito quello che mi sfuggiva: se una palla aperta è contenuta nella chiusura di C allora è contenuta anche in C.
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