Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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C'è una curva che è uguale al luogp dei centri di curvatura nei vari suoi punti.
Quale curva è?
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Chi lo sa dimostri la detta notevole proprietà.
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Trovare una funzione $f :NN^{\ast} \mapsto {0,1}$ tale che
$f(n)={(1\ se\ n\ primo),(0\ se\ non\ lo\ è):}$
Sia $f: CC \mapsto CC$ una funzione olomorfa e sia $C_R={z \in CC| |z|=R}$, dimostrare che
$$\frac{1}{2 \pi i}\int_{C_R} \frac{f'}{f}(z)dz$$
è il numero di zeri (contati con la loro molteplicità) di $f$ interni a $C_R$.
Il nostro patrimonio e' [tex]P[/tex]. Una volta al giorno, possiamo partecipare al seguente gioco: si lancia una moneta che ha probabilita' [tex]p > 0.5[/tex] di dare testa, nel qual caso raddoppiamo la somma investita, e [tex]1 - p[/tex] di dare croce, nel qual caso perdiamo la somma investita. Ogni giorno possiamo scegliere la frazione [tex]f[/tex] da investire, [tex]0 \leq f \leq 1[/tex]. Il nostro obbiettivo e' raggiungere un patrimonio [tex]P_1[/tex] entro [tex]T[/tex] giorni. La domanda ...
Sia \((\Omega, \mathcal{M}, \mu)\) uno spazio misurabile \(\sigma\)-finito, e sia \(M = M(\Omega)\) la famiglia delle (classi di equivalenza di) funzioni misurabili da \(\Omega\) in \(\mathbb{R}\).
Definiamo lo spazio
\[
L = L(\Omega) := L^1(\Omega) + L^{\infty}(\Omega).
\]
Si chiede di dimostrare che:
1. \(L\) è il sottoinsieme delle funzioni \(u\in M\) tali che la quantità
\[
\|u\|_L := \inf\{\|f\|_1 + \|g\|_{\infty}:\ f,g\in M,\ f+g=u\}
\]
è finita. (Come di consueto \(\|\cdot\|_1\) e ...
Esercizio Sia $f \in L^p(RR)$, con $1 \leq p <+\infty$, e sia
$$F_y(x):=f(x+y)-f(x-y)$$
Dimostrare che
$$\lim_{y \rightarrow +\infty} ||F_y||_p=2^{1/p}||f||_p$$
Ciao ragazzi non so se è la sezione giusta per postare questo topic.
Allora sto cercando di definire la moltiplicazione sui numeri reali utilizzando le successioni di Cauchy.
Il ragionamento che sto seguendo è questo:
Siano $ r,s $ due numeri reali definiti per mezzo di due successioni di Cauchy $ {a_k}_(k\in N) $ per r e $ {b_k}_(k\in N) $ per s.
Si definisce il prodotto definito da $rs = [{a_k b_k}_(k\in N)]$.
Per la limitatezza delle successioni di Cauchy (e già qui non so bene cosa ...
Salve a tutti, nell'allenarmi ho risolto (credo bene) un problema di ammissione alla normale e, visto che non c'era già, ve lo posto.
Per completezza riporto il testo dell'esercizio aa 07-08 n. 1
Un turista parte per un viaggio di 800km in autostrada; alla partenza ha
fatto il pieno di carburante, e con il pieno ha un’autonomia di 200km;
ma, a causa di uno sciopero, i distributori di benzina hanno una probabilità
del 50% di essere chiusi; lungo l’autostrada il turista troverà ...
Si consideri la funzione di variabile reale $x$ definita da
\[ D(x) = \det (A+Bx) \, ,\]
dove $A$ e $B$ sono due matrici $n \times n$.
1. Dimostrare che $D(x)$ è un polinomio di grado al più $n$.
2. Calcolare $D(x)$ nel caso in cui le matrici siano
$$ A = \begin{bmatrix}
\lambda_1 & a & a & ... & a \\
b & \lambda_2 & a & ... & a \\
b & b & \lambda_3 & ... & a \\
... & ... &... &... & ... \\
b & b ...
Esercizio. Sia \(f: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}\) una funzione localmente integrabile tale che \[f(x+y) = f(x)+f(y) \quad \forall \, x,y \in \mathbb{R}^N.\]
Dimostrare che \(f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^N)\) e che \(f\) è lineare.
Possiedo una mia soluzione.
Definizione. La funzione di Mangoldt $\Lambda: NN^{\ast} \mapsto RR$, è definita come:
$\Lambda(n)={(\log p\ se\ \exists k \in NN^{\ast}\ t.c.\ n=p^k),(0):}$
Definizione. L'$n$-esimo polinomio ciclotomico possiede tutte e sole le radici primitive $n$-esime dell'unità. Cioè
$$\Phi_n(x)=(x-\zeta_1)(x-\zeta_2) \cdots (x-\zeta_{\varphi(n)})$$
Dimostrare che $\Lambda(n)=\log \Phi_n(1)$.
Si provi che ogni funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ di classe $C^{\infty}$ avente tutte le derivate non negative in ogni suo punto è analitica.
(non ho soluzione)
Immagino sia sufficiente dimostrare che la serie di taylor di $f$ converge (uniformemente?) a $f$ in un intorno di ogni suo punto?
Definizione. Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale \(H\) equipaggiato con un prodotto scalare tale che \(H\) è completo per la norma \( | \cdot | \) indotta da tale prodotto scalare.
Esercizio. Sia \(p \in [1, \infty]\) ma \(p \ne 2\); mostrare che \(L^p ( \mathbb{R})\) non è uno spazio di Hilbert.
Hint:
Proposizione (legge del parallelogramma). Sia \(H\) uno spazio di Hilbert con norma \(| \cdot |\); allora vale \[ |f+g|^2 + |f-g|^2 = 2( |f|^2 + |g|^2)\]per ogni \(f,g \in ...
Definizione. Una successione ${a_n}_{n \in NN}$ si dice equidistribuita in un intervallo $[a,b]$ se la probabilità di trovare un termine della successione in un sottointervallo è proporzionale alla sua lunghezza.
Esempio. La successione $a_n={x^n}$ (parte frazionaria di $x^n$) è equidistribuita per quasi tutti i numeri reali $x>1$, eccetto un insieme a misura (di Lebesgue) nulla di termini (Hardy-Littlewood, 1914), cioè se dividiamo l'intervallo ...
Per ogni $a \in \mathbb{C}$, dimostrare l'esistenza di una radice $\bar{z}$ dell'equazione
\[ az^2-z+1 = 0 \]
che soddisfa la condizione
$| \bar{z} -1 | \leq 1$ .
(dispongo di una mia soluzione)
Per la serie "esercizio SISSA della giornata"
Questo non son riuscito a risolverlo. Se possibile mi accontenterei di hints.
Si consideri il problema
\begin{cases}
& \ddot{x}+(1+c^2)x-2c^2x^3=0 \\
& x(0)= 0 \\
& x'(0)=1
\end{cases}
dove $c \in [0,1]$ è un parametro reale. Dimostrare che, per ogni $c \in [0, 1)$, la soluzione $x_c(t)$ è una funzione periodica.
Sia $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione di funzioni misurabili su un insieme $A \subset \mathbb{R}$ di misura finita. Allora
$$\lim_{n \to \infty} \int_{A} \frac{|f_n(x)|}{1+|f_n(x)|} = 0 $$
se e solo se $f_n(x) \to 0$ in misura. Mostrare con un esempio che l'ipotesi di finitezza della misura di $A$ non può essere rimossa.
Non è molto difficile, però la propongo.
La fonte è un testo d'esame del docente Tauraso di Tor Vergata.
[size=150]$sum_(n=1)^(infty)(1+n(-1)^n)/(n(n+1))$[/size]
Io l'ho svolto con le somme parziali e mi è venuto $log2$
Teorema[Apery's theorem]
La costante $\zeta(3)$ è irrazionale.
Dimostrazione
Consideriamo la funzione integrale $F_{n,m} : \mathbb{R}^{+} \mapsto \mathbb{R}$ con $n,m \in \mathbb{N}$,
\begin{equation}
F_{n,m}(t):=\iint_{0}^{1} \frac{x^{n+t}y^{m+t}}{1-xy}dxdy
\end{equation}
Questa funzione è ben definita poiché l'integrale (1) converge per ogni $n,m$ e $t \geq 0$ infatti vale $0<F_{n,m}(t) \leq \int\int_{0}^{1} \frac{1}{1-xy}dxdy=\frac{\pi^2}{6}$. Vogliamo ora calcolare la derivata (risp. a $t$) di $F_{n,m}$ in $t=0$, ...
Sia $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^1$ a valori reali tale che
\[
|f(x)| \leq \frac{1}{2}|x|+3 \, , \ \ \ \text{ per ogni } x \in \mathbb{R} \, .
\]
Si mostri che tutte le soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria
\[
x'(t)+x(t)+f(x(t))=0, t \in \mathbb{R}
\]
sono limitate su $[0, +\infty]$.
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