Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Buongiorno a tutti..
Sono qui perchè avrei bisogno di un piccolo aiuto nella seguente dimostrazione. E' un quesito tratto dall'esame di ammissione alla Normale dell' a.a. 1998 - 1999. (per chi fosse interessato qui è possibile scaricare il pdf con tutte le prove di ingresso dal 1960 http://download.sns.it/proveesame/matm_all.pdf).
Ma veniamo a noi:
"Dati due interi pari $m$ e $n$ con $m<n$ dimostrare che se $k$ è un reale tale che ...
Ripropongo questo problema che avevo già postato in passato.
Sia $f$ una funzione convessa. Allora, per ogni $x_1,x_2,x_3$ nel suo dominio, è
$f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f((x_1+x_2+x_3)/3)\ge 4/3 [f((x_1+x_2)/2)+f((x_2+x_3)/2)+f((x_3+x_1)/2)]$.
Sia $f_{n+2} = f_{n+1} + f_n$, per ogni $n \in NN$, con $f_0 = 0$ ed $f_1 = 1$. Dimostrare che $f_n + 1$ è composto, per ogni intero $n \ge 4$.
Problema di ammissione alla Scuola Superiore di Catania.
Trovare tutte le soluzioni razionali della seguente equazione
$x^2+7y^2=2$
Io l'ho risolto con un metodo abbastanza carino direi...vediamo come lo risolvereste voi.
Intanto un saluto a tutti... spero che le vacanze vi siano andate
bene... ma purtroppo (o finalmente?!) è giunta l'ora di ricominciare:
1) Nello spazio vettoriale $V=M_2(RR)$ delle matrici 2x2 reali,
consideriamo la forma bilineare simmetrica $b(A,B)=tr(A,B)$.
Calcolare la segnatura della forma quadratica associata a $b$
2) per ogni $a>0$ sia $y_a$ la soluzione del problema di Cauchy
$y'=y^2-y^6$ con $y(0)=a$. Mostrare che ...
Sia:
$phi(x)=int_0^x(lncost)dt$
Calcolare in forma esatta (ovvero senza approssimazioni) $ phi(pi/2)$
karl
Si dimostri, senza utilizzare la calcolatrice che:
$sum_(k=1)^9((k/10)^2+sqrt(k/10))<9,5$
Prendo questi esercizi dal test di ammissione alla SISSA del 2005/06
A richiesta metto le soluzioni dei primi 3 (gli altri 2 ancora non l'ho fatti):
1) Sia f:$(0,1)->R$ t.c. $lim_{x->0^+}f(x) = -\infty$. Mostrare che f non è convessa.
Il problema principale sta nel fatto che non si ha nessuna ipotesi su f.
2) Sia $A\subsetR^n$ tale che ogni funzioni continua da A in R risulti limitata. Mostrare che f è chiuso e limitato.
3) Sia P di classe 1 su R e tale che $P(x)>e^x\forall x\in[0,\infty)$ e sia ...
Dimostrare che, comunque scelte $A, B \in M_2(\mathbb{R})$ (i.e., due matrici reali di dimensione 2 x 2), risulta $|A^2+B^2| \ge |AB - BA|$, e stabilire quindi in quali casi sussiste l'uguaglianza.
Provare che, per ogni reale $r >0$, esiste una costante $c_r > 0$ tale che, comunque sia dato $k \in \mathbb{Z}^+$: $\tau(k) \le c_r k^r$, dove $\tau(\cdot)$ denota qui la funzione che ad ogni $k \in \mathbb{Z}^+$ associa il numero dei suoi divisori interi positivi.
N.B.: il bound suggerito dal problema non è certo il migliore dei possibili. Ma il fine dell'esercizio è ben preciso (click!), per cui... Vi invito caldamente a mettere da parte la TdN analitica e di ...
My own version of IMC 1999, problem 2: determinare il più piccolo $r \in \mathbb{R}$ per cui esiste una funzione bigettiva $f: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ tale che la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(n)}{n^r}$ sia convergente.
Dimostrare che
$((2m)!(3n)!)/((m!)^2(n!)^3)$
è sempre intero.
PS: non ho la soluzione.
Dimostrare che se la somma di due numeri naturali è 30030, il loro prodotto non è divisibile per 30030.
Dimostrare che
$sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$
è irrazionale.
PS scusate per il casino di prima
$int_-pi^pi 1/(2-cos(x))=pisqrt(4/3)$
Ho trovato una dimostrazione che non fa uso dell'analisi complessa, (tipo teorema dei residui o simili) ammetto che essa può rimanere una curiosità... ma la posto lo stesso magari qualcuno la trova interessante.
Dimostrazione
Per Taylor si ha
$1/(2-y)=sum_(n=0)^infty y^n/(2^(n+1))$
da cui sostituendo $y=cosx$
$1/(2-cos(x))=sum_(n=0)^infty (cos^nx)/(2^(n+1))$
adesso è facile ricavare tramite la formula per la potenza di un binomio e la formula di Eulero per coseno ...
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