Lunghezza media di un segmento
Si suddivida [0,1] in tre segmenti scegliendo casualmente due punti nell'intervallo, con distribuzione uniforme. Qual e' la lunghezza media del segmento più lungo tra i tre che si sono formati?
Fonte: il problema e' stato dato in un centro di ricerca finanziaria a Londra; dovrebbe esserci una soluzione che non fa uso di metodi estremamente avanzati, ma io non l'ho trovata.
Fonte: il problema e' stato dato in un centro di ricerca finanziaria a Londra; dovrebbe esserci una soluzione che non fa uso di metodi estremamente avanzati, ma io non l'ho trovata.
Risposte
Può essere che il risultato sia 13/18 ? Mi viene così usando gli integrali.
Puo' essere ma io non so la risposta 
Facciamo $ 2/3 $ ?
Ciao
B.
Ciao
B.
Non penso sia 2/3, ma facciamo che postate una dimostrazione? 
Penso che il ragionamento fatto da orsoulx sia questo ...
Dato che il segmento più lungo va da un minimo di $1/3$ ad un massimo di $1$, se consideriamo equiprobabili tutte le lunghezze intermedie allora la media sarà $2/3$.
Però mi sembra troppo facile così ...
Cordialmente, Alex
Dato che il segmento più lungo va da un minimo di $1/3$ ad un massimo di $1$, se consideriamo equiprobabili tutte le lunghezze intermedie allora la media sarà $2/3$.
Però mi sembra troppo facile così ...
Cordialmente, Alex
Chiedo scusa: avevo frainteso. La mia precedente risposta è il valore medio dell'ascissa del punto più distante dall'origine.
Ciao
B.
Ciao
B.
@Martino
con gli integrali trovo 11/18. Conti fatti a mano, ma controllati più volte,
@pigkappa
se vuoi posso provare a postarti il procedimento, ma non è breve e non credo sia quello che cerchi.
Ciao
B.
con gli integrali trovo 11/18. Conti fatti a mano, ma controllati più volte,
@pigkappa
se vuoi posso provare a postarti il procedimento, ma non è breve e non credo sia quello che cerchi.
Ciao
B.
Io ho fatto $\int_0^1 \int_0^1 \max(x,1-y,|x-y|) \ dx dy$ con wolfram alpha e viene 3/18.
[L'integrale non è giusto: si veda più avanti]
[L'integrale non è giusto: si veda più avanti]
@Martino
l'espressione da integrare è corretta quando x non è maggiore di y, altrimenti considera lunghezze di segmenti che in realtà sono spezzati in due.
Ho fatto una simulazione e $ 11/18 $ parrebbe esatto.
Ciao
B.
l'espressione da integrare è corretta quando x non è maggiore di y, altrimenti considera lunghezze di segmenti che in realtà sono spezzati in due.
Ho fatto una simulazione e $ 11/18 $ parrebbe esatto.
Ciao
B.
Accidenti hai ragione!
L'integrale giusto è [tex]\int_0^1 \int_0^1 \max( \min(x,y), 1-\max(x,y), |x-y|)\ dx dy[/tex] e viene 11/18 (Wolfram Alpha).
Che storia
L'integrale giusto è [tex]\int_0^1 \int_0^1 \max( \min(x,y), 1-\max(x,y), |x-y|)\ dx dy[/tex] e viene 11/18 (Wolfram Alpha).
Che storia
"orsoulx":
[...]Ho fatto una simulazione e $ 11/18 $ parrebbe esatto.
@ orsoulx
In "Rudi Mathematici" anche aspesi e astromauh trovano 11/18 con simulazione di molte estrazioni [pseudo]casuali.
––> Estrazioni casuali, # 1476
_______
Grazie Erasmus_First, anche se non capisco come altre simulazioni possano aggiungere informazioni a quella che ho già fatto. Il 'parrebbe' è lì ad indicare che trattandosi di simulazioni, potrebbero solo escludere l'esattezza di un risultato, mai provarla
In tema: i valori medi delle lunghezze dei tre segmenti sono (2/18, 5/18, 11/18), parrebbe assai poco probabile trovare segmenti che possano essere lati di un triangolo. E invece no. Conosco da tempo questo problema e la probabilità non è tanto piccola.
Ciao
B.
[ot]Perché non rispondi sul problema della calcolatrice?[/ot]
In tema: i valori medi delle lunghezze dei tre segmenti sono (2/18, 5/18, 11/18), parrebbe assai poco probabile trovare segmenti che possano essere lati di un triangolo. E invece no. Conosco da tempo questo problema e la probabilità non è tanto piccola.
Ciao
B.
[ot]Perché non rispondi sul problema della calcolatrice?[/ot]
Anche io ho fatto il calcolo esatto con gli integrali e mi viene \(11/18\).
Ho considerato solo il caso \(x < y\) (l'altro è identico per simmetria) e l'unica seccatura è farsi il disegnino per vedere quale sia, nelle varie regioni, la funzione più grande fra \(x\), \(y-x\) e \(1-y\).
Ho considerato solo il caso \(x < y\) (l'altro è identico per simmetria) e l'unica seccatura è farsi il disegnino per vedere quale sia, nelle varie regioni, la funzione più grande fra \(x\), \(y-x\) e \(1-y\).
Questo problema mi ha ricordato una storiella ...
Se spezzo un bastoncino in tre parti, qual è la probabilità di riuscire a comporre un triangolo con i tre pezzi così ottenuti? Già Euclide diceva che perché sia possibile costruire un triangolo, il lato più lungo deve essere inferiore alla somma degli altri due quindi la probabilità è $1/2$.
O no?
Cordialmente, Alex
Se spezzo un bastoncino in tre parti, qual è la probabilità di riuscire a comporre un triangolo con i tre pezzi così ottenuti? Già Euclide diceva che perché sia possibile costruire un triangolo, il lato più lungo deve essere inferiore alla somma degli altri due quindi la probabilità è $1/2$.
O no?
Cordialmente, Alex
@Rigel
eh sì. Medesimo procedimento e scelte diverse: ho preferito $ x>y $.
Procedendo in contemporanea con i tre segmenti, ho trovato affascinante constatare che le sei parti equivalenti in cui il triangolo viene diviso dalle sue mediane corrispondono esattamente alle sei permutazioni dei tre segmenti e forniscono i medesimi risultati per i valori medi del minore, maggiore ed intermedio: a posteriori basterebbe eseguire i calcoli (in cui pasticcio assai) su una sola di queste suddivisioni.
Esisterà sicuramente una motivazione razionale di questa uniformità e, anche se non la conosco, mi piace sapere che sussiste.
@axpgn
potrebbe dipendere da come si procede per spezzare il bastoncino. Se le posizioni delle due rotture sono estratte indipendentemente con distribuzione uniforme sulla lunghezza del bastoncino, il risultato è più piccolo di quello che proponi.
Ciao
B.
eh sì. Medesimo procedimento e scelte diverse: ho preferito $ x>y $.
Procedendo in contemporanea con i tre segmenti, ho trovato affascinante constatare che le sei parti equivalenti in cui il triangolo viene diviso dalle sue mediane corrispondono esattamente alle sei permutazioni dei tre segmenti e forniscono i medesimi risultati per i valori medi del minore, maggiore ed intermedio: a posteriori basterebbe eseguire i calcoli (in cui pasticcio assai) su una sola di queste suddivisioni.
Esisterà sicuramente una motivazione razionale di questa uniformità e, anche se non la conosco, mi piace sapere che sussiste.
@axpgn
potrebbe dipendere da come si procede per spezzare il bastoncino. Se le posizioni delle due rotture sono estratte indipendentemente con distribuzione uniforme sulla lunghezza del bastoncino, il risultato è più piccolo di quello che proponi.
Ciao
B.
"orsoulx":
@axpgn ... il risultato è più piccolo di quello che proponi ...
Sì, lo so ... so anche il valore ma non come ci si arriva ...
Cordialmente, Alex
@axpgn
Ciao
B.
Ciao
B.
Ciao a tutti,
mi rendo conto che sia un esercizio di scrittura un po' lungo e noioso, ma posso chiedervi di esplicitare il calcolo con l'integrale? Io ho provato a farlo e mi viene estremamente lungo e complicato, per cui probabilmente lo sto facendo in un modo non furbo. Grazie mille
mi rendo conto che sia un esercizio di scrittura un po' lungo e noioso, ma posso chiedervi di esplicitare il calcolo con l'integrale? Io ho provato a farlo e mi viene estremamente lungo e complicato, per cui probabilmente lo sto facendo in un modo non furbo. Grazie mille
Nella regione \(x < y\) il calcolo esplicito è:
\[
\begin{split}
\int_0^{1/3} dx \int_{x}^{(1+x)/2} dy (1-y)
+ \int_{1/3}^{1/2} dx \int_{x}^{1-x} dy (1-y)
+ \int_{0}^{1/3} dx \int_{(1+x)/2}^{1} dy (y-x)
\\ + \int_{1/3}^{1/2} dx \int_{2x}^{1} dy (y-x)
+ \int_{1/3}^{1/2} dx \int_{1-x}^{2x} dy \,x
+ \int_{1/2}^{1} dx \int_{x}^{1} dy \,x\,.
\end{split}
\]
Moltiplica il risultato per \(2\) e hai fatto.
\[
\begin{split}
\int_0^{1/3} dx \int_{x}^{(1+x)/2} dy (1-y)
+ \int_{1/3}^{1/2} dx \int_{x}^{1-x} dy (1-y)
+ \int_{0}^{1/3} dx \int_{(1+x)/2}^{1} dy (y-x)
\\ + \int_{1/3}^{1/2} dx \int_{2x}^{1} dy (y-x)
+ \int_{1/3}^{1/2} dx \int_{1-x}^{2x} dy \,x
+ \int_{1/2}^{1} dx \int_{x}^{1} dy \,x\,.
\end{split}
\]
Moltiplica il risultato per \(2\) e hai fatto.
Ti posso allegare le immagini dei conti che ho fatto
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