Banalmente completo?

[spazio paradosso]

$\mathbb{N}$ ,dotato della metrica $d(n,m)=|n-m|$, è uno spazio metrico completo?

[vict85]

È in effetti abbastanza semplice. Prova a ragionare su cosa significhi che \(d(n,m) < 1\).

[spazio paradosso]

ci ho pensato, ma guarda: le uniche successioni di Cauchy sui numeri naturali sono quelle costanti si ha banalmente che due termini sono sempre arbitrariamente vicini. Esiste una successione di Cauchy che non converge in N?

[vict85]

Con la topologia usuale no. Le successioni di Cauchy diventano costanti dopo un certo \(n\).

[spazio paradosso]

anche se sono costanti dopo un certo n ,poiché sono di Cauchy, non importa dato che converge comunque. Quindi la mia risposta è: si, N è completo sotto la definizione di spazio metrico completo.

[spazio paradosso]

P.S. mi scuso per la pessima grammatica

[vict85]

Non ho capito esattamente che intendi dire con “non importa dato che converge comunque”.

La frase “\(\mathbb{N}\) con la metrica \(\displaystyle d(n,m) = \lvert n - m\rvert \) è uno spazio metrico completo” è un teorema la cui dimostrazione è diretta conseguenza dei seguenti due fatti:
[list=1][*:3kiiic45] In \(\mathbb{N}\), con la metrica \(\displaystyle d(n,m) = \lvert n - m\rvert \), una successione converge se è costante a meno di un numero finito di termini;[/*:m:3kiiic45]
[*:3kiiic45] Una successione a valori in \(\mathbb{N}\) è di Cauchy rispetto alla metrica \(\displaystyle d(n,m) = \lvert n - m\rvert \) se e solo se è costante a meno di un numero finito di termini. [/*:m:3kiiic45][/list:o:3kiiic45]

[spazio paradosso]

Non ha più importanza cosa volesse dire la frase "non importa dato che converge comunque" ,dato che ho trovato la risposta alla mia domanda. Grazie mille per l'aiuto