Preparandosi alla NORMALE
Bè...è una calda mattina d'estate...e io cosa posso fare di bello? Mi vedo qualche prova della Normale
Bè io ho cominciato da questa, ma la traccia è alquanto ambigua e arrivare ad una soluzione sembra difficile...
Ecco il problema
Impostare algebricamente, in modo completo, il seguete problema, trovando un sistema misto di equazioni e disequazioni(almeno una delle une e una delle altre) che sia equivalente al problema stesso.
Problema: Costruire un triangolo rettangolo conoscendo la differenza $d$ dei cateti e sapendo che, se i cateti stessi si diminuiscono di $k$, l'area del triangolo diminuisce di $m^2$. (Si indichino con $x$ e $y$, ponendo $x>y$, le misure ignote dei cateti).
NB: Si deve dimostrare con precisione la suddetta equivalenza, non risolvere il problema.
ma secondo voi cos'è $m^2$?A cosa si riferisce?Deve essere un quadrato perfetto?
Va bè a questo punto vi faccio vedere come ho ragionato:
Dice di scrivere il problema algebricamente in un sistema misto...lo faccio
$x>Y$
$((x-k)(y-k))/2=A-m^2$
in base a quello che ho scritto vado avanti nell'equazione, sapendo che
$A=xy/2$
sostituisco ed esplicito $m^2$ (qualsiasi cosa sia)
$m^2=k/2(y+x-k)$
e adesso?
Come procedo?
Cosa dovrei dimostrare?
Bè io ho cominciato da questa, ma la traccia è alquanto ambigua e arrivare ad una soluzione sembra difficile...
Ecco il problema
Impostare algebricamente, in modo completo, il seguete problema, trovando un sistema misto di equazioni e disequazioni(almeno una delle une e una delle altre) che sia equivalente al problema stesso.
Problema: Costruire un triangolo rettangolo conoscendo la differenza $d$ dei cateti e sapendo che, se i cateti stessi si diminuiscono di $k$, l'area del triangolo diminuisce di $m^2$. (Si indichino con $x$ e $y$, ponendo $x>y$, le misure ignote dei cateti).
NB: Si deve dimostrare con precisione la suddetta equivalenza, non risolvere il problema.
ma secondo voi cos'è $m^2$?A cosa si riferisce?Deve essere un quadrato perfetto?
Va bè a questo punto vi faccio vedere come ho ragionato:
Dice di scrivere il problema algebricamente in un sistema misto...lo faccio
$x>Y$
$((x-k)(y-k))/2=A-m^2$
in base a quello che ho scritto vado avanti nell'equazione, sapendo che
$A=xy/2$
sostituisco ed esplicito $m^2$ (qualsiasi cosa sia)
$m^2=k/2(y+x-k)$
e adesso?
Come procedo?
Cosa dovrei dimostrare?
Risposte
secondo me bastano le prime 3 relazioni che hai scritto per risolvere il problema, non dimenticandosi pero' di aggiungere la non negativita' dei cateti.
Si potrebbe essere Ok, ma si richiede la dimostrazione non la soluzione.
Probabilmente và dimostrata la relazione esistente tra la diminuzione dell' area e della lunghezza dei cateti.
A parte m^2 che lascia dubbiosi anche K si riferisce alla somma o a ciascun cateto?
saluti
Probabilmente và dimostrata la relazione esistente tra la diminuzione dell' area e della lunghezza dei cateti.
A parte m^2 che lascia dubbiosi anche K si riferisce alla somma o a ciascun cateto?
saluti
mah....io penso che comunque sia ok...
spero di non trovarmi tracce così strane...nel frattempo continuo gli esercizi e quelli che non riesco a risolvere li inserisco in questo topic...
spero di non trovarmi tracce così strane...nel frattempo continuo gli esercizi e quelli che non riesco a risolvere li inserisco in questo topic...
Scusate non avevo visto questo topic... date un'occhiata qui... è nella sezione università ma riguarda sempre il test d'ingresso per la Normale...
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20879
Thanks
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20879
Thanks
"Paolo90":
Scusate non avevo visto questo topic... date un'occhiata qui... è nella sezione università ma riguarda sempre il test d'ingresso per la Normale...
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20879
Thanks
va bè cosa fai freghi il posto?!
Potevi inserire qui il tuo problema (anche se presente in un altro topic, ma mettere quel link equivale a sviare l'attenzione da questo topic!)
Va bè...
Io metto un altro problema facilissimo ma ancora una volta mooooolto ambiguo
scomporre l'espressione algebrica
$sqrt(x^3y)+sqrt(xy^3)$
in un prodotto di fattori più semplici. Applicare la formula trovata al caso numerico
$x=-1$, $y=-2$
primo punto...la scomposizione
$sqrt(x^2xy)+sqrt(y^2xy)$
$xsqrt (xy)+ysqrt (xy)$
$(x+y) sqrt(xy)$
ma c'è il trucco...
Perche non è vero che
$sqrt(x^2)=x$, bensì che $sqrt(x^2)=|x|$
Quindi la formula finale è
$|x|sqrt(xy)+|y|sqrt(xy)$
$|x+y| sqrt(xy)$
NB...Gli indici della tradice non sono $x$ e $y$...la radice è sempre con indice due...ma non riesco a scriverlo...spero mi abbiate capito lo stesso...
credete fosse quello l'intoppo?Sta da rivedere qualcosa?
ho dei dubbi sull'ultimissimo passaggio...
non sono convinto che la somma dei moduli sia uguale al modulo della somma.
sui precedenti passaggi invece non mi pronuncio perche' le proprieta' delle radici le ho sempre rifuggite.
non sono convinto che la somma dei moduli sia uguale al modulo della somma.
sui precedenti passaggi invece non mi pronuncio perche' le proprieta' delle radici le ho sempre rifuggite.
Ed eccone uno + difficilitto...poi lascio per un pò il topic x non intasarlo...
Dimostrare che
$a^4+b^4>=a^3b$
Dire quando si ha l'ugualianza
$a$ e $b$ sono numeri reali...
allora io ragiono così:
$a<0$ implica $a^4+b^4>=0$ e $a^3b<=0$
$b<0$ implica $a^4+b^4>=0$ e $a^3b<=0$
quindi resta da dimostrare per $a$ e $b$ maggiori di $0$.
Io ho provato ad avanzare con i calcoli e sono arrivato a
$a^4+b^4+2a^2b^2>=a^3b+2a^2b^2$
$(a^2+b^2)^2>=a^2(a+2b)$
non so quanto possa essere utile questa cosa ma...
Dimostrare che
$a^4+b^4>=a^3b$
Dire quando si ha l'ugualianza
$a$ e $b$ sono numeri reali...
allora io ragiono così:
$a<0$ implica $a^4+b^4>=0$ e $a^3b<=0$
$b<0$ implica $a^4+b^4>=0$ e $a^3b<=0$
quindi resta da dimostrare per $a$ e $b$ maggiori di $0$.
Io ho provato ad avanzare con i calcoli e sono arrivato a
$a^4+b^4+2a^2b^2>=a^3b+2a^2b^2$
$(a^2+b^2)^2>=a^2(a+2b)$
non so quanto possa essere utile questa cosa ma...
"codino75":
ho dei dubbi sull'ultimissimo passaggio...
non sono convinto che la somma dei moduli sia uguale al modulo della somma.
sui precedenti passaggi invece non mi pronuncio perche' le proprieta' delle radici le ho sempre rifuggite.
capisco...
effettivamente ho sbagliato...
$|x|+|y|!=|x+y|$
Quindi mi correggo e dico
$(|x|+|y|)sqrt(xy)$
scusate la stupidità...
"angus89":
[quote="Paolo90"]Scusate non avevo visto questo topic... date un'occhiata qui... è nella sezione università ma riguarda sempre il test d'ingresso per la Normale...
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20879
Thanks
va bè cosa fai freghi il posto?!
Potevi inserire qui il tuo problema (anche se presente in un altro topic, ma mettere quel link equivale a sviare l'attenzione da questo topic!)
Va bè...
[/quote]
chiedo scusa.... ma anche io ne ho un altro... e questa volta lo posto qui...
"Dimostrare che il prodotto di quattro interi consecutivi è uguale ad un quadrato perfetto diminuito di uno"
Non so di nuovo... in pratica si tratta di dimostrare che $ x(x+1)(x+2)(x+3) +1 = a^2$ vale a dire
$ x(x+1)(x+2)(x+3) = a^2 - 1 $
Pensavo di dimostrare per induzione ma non viene data nessuna relazione tra $x$ e $a$... sono di nuovo nelle vostre mani.. please HELP! thanks...
ovviamente intendo che $ x in N $...
"angus89":
Ed eccone uno + difficilitto...poi lascio per un pò il topic x non intasarlo...
Dimostrare che
$a^4+b^4>=a^3b$
Dire quando si ha l'ugualianza
$a$ e $b$ sono numeri reali...
allora io ragiono così:
$a<0$ implica $a^4+b^4>=0$ e $a^3b<=0$
$b<0$ implica $a^4+b^4>=0$ e $a^3b<=0$
quindi resta da dimostrare per $a$ e $b$ maggiori di $0$.
Io ho provato ad avanzare con i calcoli e sono arrivato a
$a^4+b^4+2a^2b^2>=a^3b+2a^2b^2$
$(a^2+b^2)^2>=a^2(a+2b)$
non so quanto possa essere utile questa cosa ma...
hai tralasciato il caso a<0 E b<0 , mi pare.
Non sono bravo in sti giochini però per il caso del quadrato ho fatto
$x(x + 1)(x + 2)(x + 3)+1= x^(4)+6x^(3)+11x^(2)+1=(x^(2)+3x+1)^2$
che (spero) dimostra la tesi ciao
$x(x + 1)(x + 2)(x + 3)+1= x^(4)+6x^(3)+11x^(2)+1=(x^(2)+3x+1)^2$
che (spero) dimostra la tesi ciao
"codino75":
hai tralasciato il caso a<0 E b<0 , mi pare.
giusto...bel casino ora...
"in_me_i_trust":
Non sono bravo in sti giochini però per il caso del quadrato ho fatto
$x(x + 1)(x + 2)(x + 3)+1= x^(4)+6x^(3)+11x^(2)+1=(x^(2)+3x+1)^2$
che (spero) dimostra la tesi ciao
mitico! sei un grande.... e dire che ci ho passato sopra un bel po' di tempo.. non ci ero arrivato... grazie mille!!! enjoy maths! Pol
"angus89":
Ed eccone uno + difficilitto...poi lascio per un pò il topic x non intasarlo...
Dimostrare che
$a^4+b^4>=a^3b$
Dire quando si ha l'ugualianza
$a$ e $b$ sono numeri reali...
Nessuno si fà avanti x questo problema???
"angus89":
Dimostrare che
$a^4+b^4>=a^3b$
Dire quando si ha l'ugualianza
$a$ e $b$ sono numeri reali...
Nessuno nessuno?!
Dai aiutatemi!
Io ci sto ancora sbattendo la testa
prova a pensare alle possibili relazioni tra a e b...invece che tra a e 0 e tra b e 0.
have a good time
have a good time
Il caso in cui $a<0 \wedge b<0$ è chiaramente equivalente a quello in cui $a\ge0 \wedge b\ge0$. Appurato questo, un modo per dimostrarla è dividere tutto per $a^2$, per avere $a^2+b^4/a^2 \ge ab$. Dalla AM-GM si sa che $(a^2+b^2)/2 \ge ab$. Quindi ora basta osservare che $a^2+b^4/a^2 \ge (a^2+b^2)/2$, perché dopo si avrà che $a^2+b^4/a^2 \ge (a^2+b^2)/2 \ge ab$.
Ti mostro un altro modo più immediato.
Dividi la disequazione per $a^4$ ottenendo
$1+b^4/(a^4)=b/a$
A questo punto poniamo
$b/a=k$ ottenendo
$1+k^4>k$
$k^4>k-1$
Per $k<=1$ è banalmente verificata.
Per $k>1$, anche, dal momento che se la base è positiva maggiore di 1, l'elevamento a potenza intera non può che aumentare il suo valore
$k^4>=k$
e a maggior ragione se il secondo membro è diminuito di 1, come nel nostro caso.
Ciao
Dividi la disequazione per $a^4$ ottenendo
$1+b^4/(a^4)=b/a$
A questo punto poniamo
$b/a=k$ ottenendo
$1+k^4>k$
$k^4>k-1$
Per $k<=1$ è banalmente verificata.
Per $k>1$, anche, dal momento che se la base è positiva maggiore di 1, l'elevamento a potenza intera non può che aumentare il suo valore
$k^4>=k$
e a maggior ragione se il secondo membro è diminuito di 1, come nel nostro caso.
Ciao
Bellissima la soluzione di +Steven+...credo sia la più adatta...semplice e intuitiva
X quanto riguarda quella di TomSawyer...bè non conosco l'AM-GM...dammi un pò di tempo e vedo di capirne un pò di più e mi vedo la tua soluzione...
X quanto riguarda quella di TomSawyer...bè non conosco l'AM-GM...dammi un pò di tempo e vedo di capirne un pò di più e mi vedo la tua soluzione...
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