Numeri primi in 100 naturali consecutivi
Salve a tutti, mi servirebbe una dimostrazione/riferimento bibliografico inerente al quantitativo $n$ di primi presenti in un insieme di $100$ naturali consecutivi [$k$,$k+99$]. E' banale provare che non ce ne sono per $k>26$, se $k=26$, $n=1$ e se $k=25$, $n=6$. Per $k=24$, $n$ è finito e dovrebbe essere pari a $10$... correggetemi se sbaglio. Ma come sapere se $n$ non è finito per $k<24$?
Esistono dimostrazioni, congetture e riferimenti bibliografici facimente accessibili in proposito?
Esistono dimostrazioni, congetture e riferimenti bibliografici facimente accessibili in proposito?
Risposte
"marcokrt":Non capisco, cosa stai dicendo esattamente? Che in [tex][k,k+99][/tex] non ci sono primi se [tex]k > 26[/tex]? Ma questo è falso...
E' banale provare che non ce ne sono per $k>26$
In generale gli intervalli senza primi sono arbitrariamente grandi. Cioè per ogni intero positivo $m$ esistono $m$ interi consecutivi senza primi. Non è difficile mostrarlo, prova.
"Martino":Non capisco, cosa stai dicendo esattamente? Che in [tex][k,k+99][/tex] non ci sono primi se [tex]k > 26[/tex]? Ma questo è falso...
[quote="marcokrt"]E' banale provare che non ce ne sono per $k>26$
In generale gli intervalli senza primi sono arbitrariamente grandi. Cioè per ogni intero positivo $m$ esistono $m$ interi consecutivi senza primi. Non è difficile mostrarlo, prova.[/quote]
Non mi sono spiegato bene (e non sono stato nemmeno coerente con le notazioni - ero un po' di fretta)... intendevo altro. Ecco un paio di esempi per chiarire:
Se $k=1$, il contatore $n$ dei primi segnerà $25$. Infatti ci sono $25$ primi fra $1$ e $100$ (estremi compresi).
Per $k=2$, $n=26$ ed è massimo (unico caso - banale da provare).
Quanti distinti valori $k$ ci sono tali che $n=25$? Si dimostra facilmente che sono $6$.
E se $n=24$? Qui so che dovrebbero essere finiti e scommetterei su $10$, ma non l'ho dimostrato rigorosamente. Ditemi se sbaglio.
Il dubbio più grande ce l'ho su $n<24$... potrei congetturare che non ci siano un numero finito di $k$ tali che $n=23$, ma come sapere se ho ragione?
Potresti elaborare i tuoi "banale" e "facilmente"? Sarà che sono stanco ma non vedo perché 26 è massimo e perché ci sono solo 6 numeri k con n=25.
"Martino":
Potresti elaborare i tuoi "banale" e "facilmente"? Sarà che sono stanco ma non vedo perché 26 è massimo e perché ci sono solo 6 numeri k con n=25.
Per brevità non riporto la dimostrazione di un lemma (bello datato) che ci assicura che per tutti i $k>=12$ ci sono almeno $76$ numeri composti in $[k,k+99]$. Nello specifico si tratta di numeri composti divisibili per numeri primi $p<=11$. Per la verifica basta andare di "brute force" su tutti i $k<=2310=11*7*5*3*2$.
In particolare, $n=25$ per i seguenti $k$: $1, 3, 4, 5, 10, 11$.
Ragazzi, se qualcuno avesse modo di darmi una mano "softwaristica" penso di aver risolto:
Se il numero dei valori di $k$ tali che $[k,k+99]$ contiene $24$ o $23$ primi è finito, esisterà un valore di $i$ per cui non ci sono più di $22$ primi per $k$ compreso fra $a$ e $b$. Poiché i numeri composti divisibili per i primi $<=$ di $p_i$ formano una sequenza periodica di periodo $p_1*p_2*...*p_i$, proviamo ad alzare l'asticella di quel tanto che basta per sperare di ottenere il risultato voluto. Dalle elaborazioni di un conoscente di OEIS sappiamo che ci sono solo $2$ valori di $k$ (che al momento ignoro) per cui i primi nell'intervallo sono $23$. Constatiamo pertanto che:
- $2*3*5*7*11*13*17*19=9699690<10^7$, quindi direi di provare con $p_i:=19$;
- La sequenza è periodica, per cui mi interessano solo i valori di $k$ per cui ci sono al più $77$ numeri composti divisibili per almeno un numero primo $<=19$ nell'intervallo $[k,k+99]$ con $k<10^7$.
Se mi indicate quali linee rimangono da indagare, con un po' di fortuna, direi che il problema potrebbe essere risolto in modo rapido.
Se il numero dei valori di $k$ tali che $[k,k+99]$ contiene $24$ o $23$ primi è finito, esisterà un valore di $i$ per cui non ci sono più di $22$ primi per $k$ compreso fra $a$ e $b$. Poiché i numeri composti divisibili per i primi $<=$ di $p_i$ formano una sequenza periodica di periodo $p_1*p_2*...*p_i$, proviamo ad alzare l'asticella di quel tanto che basta per sperare di ottenere il risultato voluto. Dalle elaborazioni di un conoscente di OEIS sappiamo che ci sono solo $2$ valori di $k$ (che al momento ignoro) per cui i primi nell'intervallo sono $23$. Constatiamo pertanto che:
- $2*3*5*7*11*13*17*19=9699690<10^7$, quindi direi di provare con $p_i:=19$;
- La sequenza è periodica, per cui mi interessano solo i valori di $k$ per cui ci sono al più $77$ numeri composti divisibili per almeno un numero primo $<=19$ nell'intervallo $[k,k+99]$ con $k<10^7$.
Se mi indicate quali linee rimangono da indagare, con un po' di fortuna, direi che il problema potrebbe essere risolto in modo rapido.
Sono riuscito a dimostrare rigorosamente che esistono solo i $10$ valori di $k$ tali che in $[k, k+99]$ ci siano essattamente $24$ primi. Questa è fatta.
Per il caso di $23$ primi però ci sono ben $382$ linee aperte (se consideriamo i numeri non divisibili per alcun primo $<=19$)... $2$ le posso chiudere facilmente $k=18$ e $k=19$, ma per le altre non so cosa fare. Qualche idea?
Per il caso di $23$ primi però ci sono ben $382$ linee aperte (se consideriamo i numeri non divisibili per alcun primo $<=19$)... $2$ le posso chiudere facilmente $k=18$ e $k=19$, ma per le altre non so cosa fare. Qualche idea?
"marcokrt":
Sono riuscito a dimostrare rigorosamente che esistono solo i $ 10 $ valori di $ k $ tali che in $ [k, k+99] $ ci siano essattamente $ 24 $ primi. Questa è fatta.
Per dire di aver dimostrato qualcosa "rigorosamente" sarebbe cosa buona e giusta pubblicare la dimostrazione in modo che anche altri possano visionarla e valutarne la correttezza
"dan95":
[quote="marcokrt"]Sono riuscito a dimostrare rigorosamente che esistono solo i $ 10 $ valori di $ k $ tali che in $ [k, k+99] $ ci siano essattamente $ 24 $ primi. Questa è fatta.
Per dire di aver dimostrato qualcosa "rigorosamente" sarebbe cosa buona e giusta pubblicare la dimostrazione in modo che anche altri possano visionarla e valutarne la correttezza[/quote]
Il fatto è che vorrei inviare un articolo a qualche sito una volta chiuso (si spera) il caso dei $23$ primi e cercavo soprattutto degli hint. La dimostrazione in sé non è nulla di particolare, quasi banale direi...
Per i gruppi di $26$ e $25$ primi la prova l'ho già postata su richiesta... per quelli da $24$ è più lunga, ma per un software è un istante dividere i naturali $<=9699760$ per i primi $<=19$. Se è proprio necessario nei prossimi giorni posto la dimostrazione parziale ($24$ primi). Ditemi voi...
Giusto per chiarire, con le notazioni che si trovano qui, se non mi sbaglio stai cercando di dimostrare che [tex]H_{23} < 100[/tex].
Questo rientra nel "Polymath Project" di cui parla Tao.
In particolare vorrei osservare che se ci sono infiniti intervalli lunghi $l$ con $n$ primi allora almeno uno dei possibili "pattern" con $n$ primi ammette infinite realizzazioni, in altre parole, esiste almeno una $n$-upla ammissibile (in questo senso). Ma allora $l \geq H(n)$ dove $H(n)$ è definito qui. Quindi usando la notazione di Tao, $H_{n-1} \geq H(n)$. Ora, in questa stessa pagina (l'ultima che ho linkato) si danno stime per $H(n)$ per alcuni valori di $n$. Si vede dalla tabella che $100 \geq H(24)$ ma come commento dice "optimal (previously found by Smith)". La parola "optimal" credo che voglia dire che in realtà $H(24) = 100$. Dici:
Questo rientra nel "Polymath Project" di cui parla Tao.
In particolare vorrei osservare che se ci sono infiniti intervalli lunghi $l$ con $n$ primi allora almeno uno dei possibili "pattern" con $n$ primi ammette infinite realizzazioni, in altre parole, esiste almeno una $n$-upla ammissibile (in questo senso). Ma allora $l \geq H(n)$ dove $H(n)$ è definito qui. Quindi usando la notazione di Tao, $H_{n-1} \geq H(n)$. Ora, in questa stessa pagina (l'ultima che ho linkato) si danno stime per $H(n)$ per alcuni valori di $n$. Si vede dalla tabella che $100 \geq H(24)$ ma come commento dice "optimal (previously found by Smith)". La parola "optimal" credo che voglia dire che in realtà $H(24) = 100$. Dici:
Sono riuscito a dimostrare rigorosamente che esistono solo i $10$ valori di $k$ tali che in $[k,k+99]$ ci siano esattamente $24$ primi. Questa è fatta.Questo implicherebbe che $H_{23} < 100$ mentre da quello che ho scritto sopra segue (seguirebbe) che $H_{23} \geq H(24) = 100$.
"Martino":
Giusto per chiarire, con le notazioni che si trovano qui, se non mi sbaglio stai cercando di dimostrare che [tex]H_{23} < 100[/tex].
Questo rientra nel "Polymath Project" di cui parla Tao.
In particolare vorrei osservare che se ci sono infiniti intervalli lunghi $l$ con $n$ primi allora almeno uno dei possibili "pattern" con $n$ primi ammette infinite realizzazioni, in altre parole, esiste almeno una $n$-upla ammissibile (in questo senso). Ma allora $l \geq H(n)$ dove $H(n)$ è definito qui. Quindi usando la notazione di Tao, $H_{n-1} \geq H(n)$. Ora, in questa stessa pagina (l'ultima che ho linkato) si danno stime per $H(n)$ per alcuni valori di $n$. Si vede dalla tabella che $100 \geq H(24)$ ma come commento dice "optimal (previously found by Smith)". La parola "optimal" credo che voglia dire che in realtà $H(24) = 100$. Dici:
Sono riuscito a dimostrare rigorosamente che esistono solo i $10$ valori di $k$ tali che in $[k,k+99]$ ci siano esattamente $24$ primi. Questa è fatta.Questo implicherebbe che $H_{23} < 100$ mentre da quello che ho scritto sopra segue (seguirebbe) che $H_{23} \geq H(24) = 100$.
Wow, grazie mille!
Giovedì proverò a studiarmi tutto... quindi mi confermi che il caso dei $23$ primi è considerato molto arduo? Se così fosse penso che potremmo anche chiuderla qui.
La dimostrazione che ho fatto, a questo punto la invierò assieme al resto dell'articolo e si vedrà, ma non contiene passaggi complessi. Certo che se l'argomento fosse il medesimo e dal resto si evincesse che il contrario di quanto ho scritto, allora ci sarebbe ben poco da discutere. Per tagliare la testa al toro subito basterebbe un controesempio, ovvero una sequenza di $100$ interi consecutivi con il più piccolo termine $>=18$ che contenga $24$ numeri primi (o più) :\
P.S.
Almeno questa sciocchezza spero di averla azzeccata ($m$:=numero di primi in $100$ naturali consecutivi).
Lemma: Se $m≤25$ e $k$ è un insieme finito di valori, tale insieme avrà un numero pari di elementi.
Dimostrazione Lemma: La prova è immediata, poiché segue dalla constatazione che non esistono numeri primi pari $>2$, quindi se $m$ assume un certo valore ($≤25$) per $k=2*c+1$ (con $c∈ ℕ-{0}$), allora anche $[k-1, k+98]$ conterrà $m$ primi; viceversa, per $k=2*c$, $[k+1, k+99]$ conterrà $m$ primi come $[k, k+99]$. Sarà pertanto sufficiente porre $k’:=k-1$ per $k$ dispari e $k’:=k+1$ per $k$ pari.
Visto che ci sono, aggiungo un'altro paio di ovvietà, in attesa di avere più tempo per leggere il blog di Tao:
1) Se $[k, k+99]$ contiene $c$ primi, allora ne avremo sempre $c$ anche in un suo sottinsieme proprio eliminando uno dei valori agli estremi (quello pari)... per tutti i $k>2$, ovvero se $m<=25$.
2) Per $m=0$ i valori di $k$ non costituiscono un insieme finito, giacché è sufficiente porre $k:=(100+n)!$, con $n∈ ℕ_0$, al fine di individuare un insieme illimitato di sequenze di $100$ numeri composti consecutivi.
Sia invece $m=1$: Fu provato dallo stesso Euclide, attorno al 300 a.C., che i primi sono infiniti ed è evidente come basti partire da $k:=(100+n)!$, $n∈ ℕ_0$, e procedere con incrementi unitari per incontrare il numero primo $p_(n+1)$, il quale ci garantirà dunque che $m=1 ∀ [p_(n+1)-99, p_(n+1)]$.
1) Se $[k, k+99]$ contiene $c$ primi, allora ne avremo sempre $c$ anche in un suo sottinsieme proprio eliminando uno dei valori agli estremi (quello pari)... per tutti i $k>2$, ovvero se $m<=25$.
2) Per $m=0$ i valori di $k$ non costituiscono un insieme finito, giacché è sufficiente porre $k:=(100+n)!$, con $n∈ ℕ_0$, al fine di individuare un insieme illimitato di sequenze di $100$ numeri composti consecutivi.
Sia invece $m=1$: Fu provato dallo stesso Euclide, attorno al 300 a.C., che i primi sono infiniti ed è evidente come basti partire da $k:=(100+n)!$, $n∈ ℕ_0$, e procedere con incrementi unitari per incontrare il numero primo $p_(n+1)$, il quale ci garantirà dunque che $m=1 ∀ [p_(n+1)-99, p_(n+1)]$.
La sequenza degli $H_n$ ottimali dovrebbe essere questa (dalla $OEIS$):
https://oeis.org/A008407
Direi che così è tutto più chiaro
https://oeis.org/A008407
Direi che così è tutto più chiaro
(segue)
Vista ora la tabella del sito linkato dal mod:
Credo che "$k$" lì debba intendesi come $[a, a+100]$, ovvero $101$ elementi... altrimenti fatico a spiegarmi come possano esserci infinite coppie di primi in $[a, a+1]$ come da tabella. Che ci sia un solo caso mi pare palese. In alternativa potrebbe trattarsi di un unico caso e non di infiniti (comprendendo l'unico primo pari esistente)... il fatto che l'ampiezza degli intervalli sia un valore pari contraddice ciò che ho mostrato prima con ragionamento deduttivo lapalissiano
Per ora resto dunque convinto della bontà della mia "dimostrazione", salvo sviste grossolane dovute alla fretta.
Credo che "$k$" lì debba intendesi come $[a, a+100]$, ovvero $101$ elementi... altrimenti fatico a spiegarmi come possano esserci infinite coppie di primi in $[a, a+1]$ come da tabella. Che ci sia un solo caso mi pare palese. In alternativa potrebbe trattarsi di un unico caso e non di infiniti (comprendendo l'unico primo pari esistente)... il fatto che l'ampiezza degli intervalli sia un valore pari contraddice ciò che ho mostrato prima con ragionamento deduttivo lapalissiano
Per ora resto dunque convinto della bontà della mia "dimostrazione", salvo sviste grossolane dovute alla fretta.
Finalmente ho trovato un'oretta per leggermi tutto.
Ecco come stanno dunque le cose:
Gli $H(k)$ di cui parla Tao e della tabella sono i minimi "gap" ammissibili fra l'm-esimo primo e l'n-esimo (con $m-n:=k) tali che questa distanza sia ripetibile infinite volte nei naturali. Esempio, $H(2)=2$ perché non ci possono essere infiniti primi pari e dispari e quindi $H(2)>1$ in modo banale.
Nel caso che interessa a me, abbiamo che il massimo valore di $H(k)$ che posso permettermi è $99$, che si riduce a $98$ per quanto detto sopra.
Prendiamo dunque la tabella http://math.mit.edu/~primegaps/ e vediamo cosa ci dice con certezza:
Essendo $H(k)>=H(k-1)$ per tutti i $2
Due ci sono di sicuro, ma infiniti?
Ecco come stanno dunque le cose:
Gli $H(k)$ di cui parla Tao e della tabella sono i minimi "gap" ammissibili fra l'm-esimo primo e l'n-esimo (con $m-n:=k) tali che questa distanza sia ripetibile infinite volte nei naturali. Esempio, $H(2)=2$ perché non ci possono essere infiniti primi pari e dispari e quindi $H(2)>1$ in modo banale.
Nel caso che interessa a me, abbiamo che il massimo valore di $H(k)$ che posso permettermi è $99$, che si riduce a $98$ per quanto detto sopra.
Prendiamo dunque la tabella http://math.mit.edu/~primegaps/ e vediamo cosa ci dice con certezza:
Essendo $H(k)>=H(k-1)$ per tutti i $2
Due ci sono di sicuro, ma infiniti?
Non ho capito granché di questi vostri discorsi ...
Comunque, si sa che una distribuzione precisa (e prevedibile) dei primi non esiste; e che una stima statistica del numero di primi tra due naturali m ed n>m, [ossia di primi p tali che sia m < p ≤ n], è data dalla parte intera dell'integrale da m ad n di [1/ln(x)]dx.
E' probabile ma non è certo che siano infiniti i k naturali per i quali il numero di numeri primi tra k e k+99 inclusi sia un preciso intero n (ovviamente minore di 27)-
[Inciso: Il numero di primi tra il naturale $m$ escluso ed il naturale $n$ (con $n>m$) incluso è di solito indicato con $π(m, n)$ ].
E' probabile perché l'intervallo medio tra un primo e il successivo cresce statisticamente in modo logaritmico (e quindi, pur rarefacendosi la densità media di numeri primi in un intervallo di data ampiezza al tendere all'infinito dei suoi estremi, da un arbitrario naturale in poi c'è sempre una infinità di numeri primi ... come ha già dimostrato Euclide!.
Ma non è certo ... e nessuno potrà mai risolvere questa incertezza.
_______
Comunque, si sa che una distribuzione precisa (e prevedibile) dei primi non esiste; e che una stima statistica del numero di primi tra due naturali m ed n>m, [ossia di primi p tali che sia m < p ≤ n], è data dalla parte intera dell'integrale da m ad n di [1/ln(x)]dx.
E' probabile ma non è certo che siano infiniti i k naturali per i quali il numero di numeri primi tra k e k+99 inclusi sia un preciso intero n (ovviamente minore di 27)-
[Inciso: Il numero di primi tra il naturale $m$ escluso ed il naturale $n$ (con $n>m$) incluso è di solito indicato con $π(m, n)$ ].
E' probabile perché l'intervallo medio tra un primo e il successivo cresce statisticamente in modo logaritmico (e quindi, pur rarefacendosi la densità media di numeri primi in un intervallo di data ampiezza al tendere all'infinito dei suoi estremi, da un arbitrario naturale in poi c'è sempre una infinità di numeri primi ... come ha già dimostrato Euclide!.
Ma non è certo ... e nessuno potrà mai risolvere questa incertezza.
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"Erasmus_First":
Non ho capito granché di questi vostri discorsi ...
Comunque, si sa che una distribuzione precisa (e prevedibile) dei primi non esiste; e che una stima statistica del numero di primi tra due naturali m ed n>m, [ossia di primi p tali che sia m < p ≤ n], è data dalla parte intera dell'integrale da m ad n di [1/ln(x)]dx.
E' probabile ma non è certo che siano infiniti i k naturali per i quali il numero di numeri primi tra k e k+99 inclusi sia un preciso intero n (ovviamente minore di 27)-
[Inciso: Il numero di primi tra il naturale $m$ escluso ed il naturale $n$ (con $n>m$) incluso è di solito indicato con $π(m, n)$ ].
E' probabile perché l'intervallo medio tra un primo e il successivo cresce statisticamente in modo logaritmico (e quindi, pur rarefacendosi la densità media di numeri primi in un intervallo di data ampiezza al tendere all'infinito dei suoi estremi, da un arbitrario naturale in poi c'è sempre una infinità di numeri primi ... come ha già dimostrato Euclide!.
Ma non è certo ... e nessuno potrà mai risolvere questa incertezza.
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Beh... il mio non era un quesito di natura probabilistica, ma proprio una determinazione rigorosa.
Per i gruppi da $24$ primi ci sono le dimostrazioni (ora sono diventate due), per quelli da $23$ il sospetto è che la numerosità degli intervalli $[k,k+99]$ sia infinita. Insistere probabilmente è una perdita di tempo
Ri-uppo il thead giusto per dire che ho inviato alla redazione di Matematicamente un breve articolo che contiene anche le dimostrazioni di cui si parlava... nessun risultato strabiliante e il contenuto è (credo) molto semplice, alla portata di tutti.
Alla fine è stata inserita la seguente congettura: esistono infiniti valori di $k$ tali che l'intervallo $[k, k+99]$ contenga un numero $m$ di primi fra $2$ e $23$ (estremi compresi).
Alla fine è stata inserita la seguente congettura: esistono infiniti valori di $k$ tali che l'intervallo $[k, k+99]$ contenga un numero $m$ di primi fra $2$ e $23$ (estremi compresi).
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