Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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CARDINALITÀ DEI REALI
Se non mi sbaglio tra due insiemi, anche equipotenti, è sempre possibile creare una relazione non-biunivoca.
Es: prendo due insiemi $A$ e $B$ entrambi contenenti tutti i numeri naturali. Poi associo $n in A$ con il corrisponde $2*n in B$. Ora ogni elemento di $A$ avrà un'immagine in $B$, ma non viceversa perchè i dispari in $B$ saranno senza immagine.
Quindi si conclude che due insiemi ...
Problema. Si consideri la funzione \( f \colon \mathbb R \to \mathbb R \) definita da
\[
x \mapsto
\begin{cases} 0 & x=0 \vee x\in\mathbb R \setminus \mathbb Q \\
\frac{1}{p^2q^2} & x = \frac{p}{q}, \,\, (p,q)=1.
\end{cases}
\]
(1) Dimostrare che $f \in BV(\mathbb R)$ (dove, al solito, $BV(\mathbb RR)$ denota lo spazio vettoriale delle funzioni a variazione limitata su $\mathbb R$).
(2) Dedurre dal punto precedente che $f'$ esiste (Lebesgue-) q.o.
(3) Provare che, tuttavia, ...
"Nel piano sono dati tre punti non allineati $A$, $B$, $C$, e la retta $r$ perpendicolare in $A$ al segmento $AB$. Determinare gli eventuali punti $X$ della retta $r$ tali che: $AXB=BXC$ (angoli)"
Ho trovato subito una somiglianza con l'esercizio che avevo proposto nel topic "Rette parallele e punti equidistanti - SNS 1968", pur non riuscendo però a sfruttare le vie ...
Esercizio carino dedicato agli studenti che stanno preparando l'esame di Analisi I.
Esercizio. Calcolare \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sin \left( \frac{\pi}{n} \right) + \sin \left(2 \frac{\pi}{n}\right) + \dots + \sin \left( n \frac{\pi}{n} \right)}{n} \]
Nel triangolo ABC i vertici A e B hanno una posizione fissa sulla retta n del lato AB, mentre il vertice C può variare liberamente sulla retta a, parallela ad n e posta ad una distanza fissata da n ( vedi figura).
Si chiede di dimostrare ( per via sintetica. La dimostrazione analitica? Un orrore ) che il luogo dell'ortocentro E di ABC, al variare di C su a, è una parabola passante per A e B ed avente l'asse perpendicolare ad a medesima.
Premendo il triangolino in basso a sinistra della ...
Propongo il seguente esercizio dal Greene & Krantz, Function Theory of One Complex Variable*, che non sono ancora riuscito a capire come risolvere (perché ancora non sono riuscito a capire il contenuto geometrico della disuguaglianza).
***
Esercizio:
Dimostrare che esiste una costante universale \(c>0\), indipendente da \(N\), che gode della seguente proprietà:
Per ogni insieme finito \(\{z_1,\ldots ,z_N\}\subset \mathbb{C}\) con \(\sum_{n=1}^N |z_n|\geq 1\), esiste un ...
Si consideri la successione ${a_n,n\in N}$ definita con la seguente ricorsione :
\begin{cases} a_0=\frac{1}{2},a_1=\frac{1}{5} \\ a_{n}=\frac{a_{n-2}\cdot a_{n-1}}{5a_{n-2}-6a_{n-1}} \text{ per n} \geq 2 \end{cases}
Calcolare il valore formale di $a_{3000}$
"Valore formale " significa che se, per esempio, fosse $a_{3000}=2^{3000}$ non è che dovete spiattellarmi il calcolo di 2 moltiplicato per se stesso tremila volte ( per carità !) ma dovete indicarlo semplicemente come ...
Vi propongo alcuni problemi sul calcolo combinatorio - probabilità e non solo.
Alcuni a me sembrano abbastanza insidiosi. (dato che li ho scritti io non ho delle soluzioni "ufficiali" per tutti ma vi posso dire quello che è venuto a me).
1) Calcolare le possibili permutazioni nelgioco del 15.
2) Dimostrare che la somma continua delle cifre di un numero (es: 999=9+9+9=27=2+7=9 oppure 545=5+45=50=5+0=5) chiamata $S(x)$ è uguale a $x mod 9$.
NB: non importa se le cifre ...
Dimostrare che l'equazione :
$x^4+131=3y^4$
non ha soluzioni intere.
Dimostrare che è :
$(2)^{1/2}\cdot (4)^{1/4}\cdot (8)^{1/8}\cdot (16)^{1/{16}}\cdot...\cdot (2^n)^{1/{2^n}}<4$
Io ho date due funzioni $h$ e $g$ di dominio mettiamo $RR$ e a valori in $RR$ tali che $g(x)=g(h(x)) AA x in K$
Quali condizioni esplicite posso trovare per una certa $f$ (ammesso che esista) tale che $f(g(x))=f(g(y)) AA x,y in K$ ?
Di più, se ho un altre funzioni $t_i$ del tipo di $h$ e cioè tale che $g(x)=g(t_i(x)) AA x in K, AA i$ posso sperare che una $f$ definita come sopra esista e sia unica?
Ad esempio, ...
Salve, mi sono chiesto una cosa probabilmente stupida per chi conosce la risposta , non ci ho pensato molto ma m'è venuta voglia lo stesso di porre questo problema.
In (N,
Buongiorno a tutti
vi propongo un punto di un esercizio del compito per la borsa di studio per la specialistica dell'indam dell'anno 2009-2010
Dimostrare che se un endomorfismo \(\displaystyle f:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4 \) è tale che \(\displaystyle f^2=Id \) , allora \(\displaystyle f \) è diagonalizzabile.
Io per ora ho ragionato così: dal fatto che \(\displaystyle f^2=Id \) sappiamo che:
1) \(\displaystyle f \) è invertibile (il determinante di \(\displaystyle f \) è uguale ...
Sia $K$ un campo finito sia $P=P_1(K)$ la retta proiettiva su $K$ e $F:P -> P$ una proiettività.
Si consideri $F$ come una permutazione dell'insieme finito $P$ e sia $F=C_1 \circ ... \circ C_r$ la sua decomposizione in ciclli disgiunti.
Dimostrare che i cicli hanno tutti la stessa lunghezza oppure hanno solo 2 possibili lunghezze.
Cosa si può dire per le proiettività del piano proiettivo?
la mia idea di partenza è la seguente: ...
Data una \(\displaystyle n \)-upla di reali positivi \(\displaystyle \lambda_1,.....,\lambda_n \) mostrare che:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^i \lambda_{j}^{\frac{1}{i}} \leq e \cdot \sum_{i=1}^n \lambda_i\)
Esiste addirittura una versione più forte che sostituisce \(\displaystyle e \) con \(\displaystyle \frac{(n+1)^n}{n^n} \).
in questa discussione insiemi-compatti-t66865.html si era parlato già di spazi compatti in $l^p$, ora il caso $p=\infty$!
"Dimostrare che data una successione a termini $a=a_n\to 0$ allora $C=\{x=(x_n)_n\in l^{\infty}| |x_n|\leq a_n\}$ è compatto."
(per fissare le idee uno può pensare $a_n=1/n$.
domanda opzionale: è vero che $C'=\{x=(x_n)_n\in l^{\infty}|\exists a_n\to 0, a_n\geq 0 : |x_n|\leq a_n\}$ è ancora compatto?
Ciao a tutti, spero di aver postato nella sezione giusta...allora, io ho il seguente problema che vorrei risolvere:
Ho una serie di punti P con coordinate X e Y
Da questi punti voglio estrarre la serie di punti che definiscono il contorno.
Per capirsi, ho ad esempio questa serie di punti "arancio" e io voglio estrarre solo la serie di punti che mi definisce il contorno:
NB: in questo è un'ellisse ma il metodo deve essere generale in quanto la figura può non essere una figura ...
Recentemente si è imposto all'attenzione della community il seguente problema:
Problema:
Tra tutte le ellissi inscritte nel quadrato di lato unitario, determinare (se esiste) quella di perimetro massimo.
Chiarisco che "inscritta" significa che l'ellisse è tagente a tutti e quattro i lati del quadrato.
Questo è un vincolo geometrico forte e abbastanza fetente dal punto di vista analitico (IMHO).
***
L'idea per una possibile soluzione è già stata da me fornita qui; ma non ...
Un polinomio \(f \in \mathbb{R}[x,y]\) è armonico se soddisfa l'equazione \[\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2} = 0\] per ogni coppia \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).
Posto \(z = x+iy\), per ogni \(k \geq 0\) definiamo i polinomi armonici \[[z^k] = \Re (z^k) \quad \text{e} \quad i[z^k] = \Im(z^k)\]
Vi propongo questo esercizio (anche per vedere se ho fatto bene i conti):
se \(f \in \mathbb{R}[x,y]\) è armonico e si scrive come\[f(x,y) = a_{0,0} + \sum_{p,q ...
E' un problema di un concorso di ammissione al dottorato SISSA di qualche anno fa ed è uno di quelli che non sono riuscito a risolvere completamente mentre preparavo lo scritto di Analisi Funzionale. Ve lo propongo qui, anche perché mi pare piuttosto carino, magari insieme riusciamo a concluderlo per bene.
Problema. Sia $H$ uno spazio di Hilbert e $A_n : H to H$ una successione di operatori lineari limitati. Si supponga che $A_nx_n\to 0$ converga fortemente per ogni ...
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