Famiglie di sottoinsiemi di $\mathbb{N}^{+}$ che non si capisce se sono tutti $\ne \emptyset$

[Livius1]

Posto $N_{\epsilon}:={ x\in \mathbb{N}^{+}:\cos (2^{x})\geq 1-\epsilon }$, è vero che
$N_{\epsilon}\ne \emptyset$ per ogni $\epsilon\in ]0,1[$ ? (la risposta mi è ignota)

[Martino]

E' un problema che è formulato in modo molto più naturale qui. Suggerisco di continuare di là

[Livius1]

Propongo il seguente esercizio: provare che ${N_{\epsilon}:\epsilon\in ]0,1[}$ è una famiglia finita.

Qui $\epsilon$ e gli altri $\epsilon_{i}$ sono elementi di ]0,1[.
Se $\epsilon_{1}<\epsilon_{2}$ allora $N_{\epsilon_{1}}\subseteq N_{\epsilon_{2}}$ e dato che
gli $N_{\epsilon}$ sono sottoinsiemi di $\mathbb{N}^{+}$, esisterà una successione ${\epsilon_{i}}_{i}$
con $\epsilon_{i}>\epsilon_{i+1}$ per ogni $i\in \mathbb{N}^{+}$, tale che
$N_{\epsilon_{i}}\supsetne N_{\epsilon_{i+1}}$.
$\lim_{n\rightarrow \infty}|\bigcap_{1\le i\le n}N_{\epsilon_{i}}|=|\bigcap_{i\ge 1}N_{\epsilon_{i}}|$,
il passaggio del limite sotto il segno di cardinalità $|\cdot|$ vale perchè
$|\cdot|:P(\mathbb{N}^{+}) \rightarrow [0,+\infty ]$ è una misura.
La successione $a_{n}:=|\bigcap_{1\le i\le n}N_{\epsilon_{i}}|$ è strettamente decrescente ed è
a valori in $\mathbb{N}^{+}$, quindi finita nel senso che, ${a_{n}}_{n}={a_{n_{1}},a_{n_{2}},\ldots,a_{n_{k}}}$
con $a_{n_{1}} > a_{n_{2}} > \ldots > a_{n_{k}}$ se $n_{1} < n_{2} < \ldots < n_{k}$.
Si conclude che ${N_{\epsilon}:\epsilon \in ]0,1[}={N_{\epsilon_{n_{1}} }, N_{\epsilon_{n_{2}}},\ldots,N_{\epsilon_{n_{k}}}}$.

[Rigel1]

@livius:
se il tuo ragionamento fosse corretto, allo stesso modo potresti dimostrare che anche gli insiemi
\[
H_{\epsilon} := \{n\in\mathbb{N}:\ \sin n > 1-\epsilon\}
\]
hanno cardinalità finita per \(\epsilon\in (0,1)\) (cosa che è falsa).

[Livius1]

Hai ragione, la dimostrazione è errata (l'errore era in buona fede).

In realtà quello che vorrei sapere è se $1$ è un punto di accumulazione per ${\cos (2^{n}):n\in\mathbb{N}^{+}}$.

[Rigel1]

"Livius":In realtà quello che vorrei sapere è se $1$ è un punto di accumulazione per ${\cos (2^{n}):n\in\mathbb{N}^{+}}$.

Non lo so; non so nemmeno quanto sia difficile stabilirlo (spesso queste cose possono essere molto difficili da dimostrare, nel senso che alcune questioni di questo tipo sono problemi aperti).