Perchè la misura interna di Lebesgue non è definita così?
Seguendo la definizione di misura esterna di un insieme \(\displaystyle E \) come \(\displaystyle inf \{\sum l(I_k)\}\) dove gli \(\displaystyle I_k \) sono una famiglia al più numerabile di intervalli tale che \(\displaystyle \bigcup_k I_k \supset E\), è possibile (immagino di no, ma non lo so motivare) definire la misura interna di \(\displaystyle E \) come \(\displaystyle sup\{\sum l(J_k)\} \) dove i \(\displaystyle J_k \) sono una famiglia al più numerabile di intervalli la cui unione stavolta è contenuta nell'inieme: \(\displaystyle \bigcup_k J_k \subset E \) ?
Credo di no, altrimenti avrei trovato questa definizione da qualche parte, ma mi piacerebbe dare una risposta.
Credo di no, altrimenti avrei trovato questa definizione da qualche parte, ma mi piacerebbe dare una risposta.
Risposte
Faccio funzionare le meningi e provo a dare una risposta sensata.
Senza che lo scrivo di continuo: se dico cavolate, smentitemi.
Se non erro, la misura è una funzione che a degli insiemi (di una sigma algebra, nel caso dei reali dovrebbe essere quella dei boreliani?) assegna un valore non negativo.
Ora, dunque, deduco che essendo una funzione che associa ecc... valori "non negativi", non potrebbe essere definita tramite il sup per questioni che involvono gli insiemi di misura nulla.
Dovrebbe essere un analogo di questa cosa:
sup${- 1/n}=0$ ($n\in \NN \setminus {0}$).
Per ogni $n$, $-1/n$ è negativo anche se il suo sup è nullo.
Forse non mi sono espresso alla grande, però spero che si sia capito il concetto.
Senza che lo scrivo di continuo: se dico cavolate, smentitemi.
Se non erro, la misura è una funzione che a degli insiemi (di una sigma algebra, nel caso dei reali dovrebbe essere quella dei boreliani?) assegna un valore non negativo.
Ora, dunque, deduco che essendo una funzione che associa ecc... valori "non negativi", non potrebbe essere definita tramite il sup per questioni che involvono gli insiemi di misura nulla.
Dovrebbe essere un analogo di questa cosa:
sup${- 1/n}=0$ ($n\in \NN \setminus {0}$).
Per ogni $n$, $-1/n$ è negativo anche se il suo sup è nullo.
Forse non mi sono espresso alla grande, però spero che si sia capito il concetto.
"Zero87":
Faccio funzionare le meningi e provo a dare una risposta sensata.
Senza che lo scrivo di continuo: se dico cavolate, smentitemi.
Se non erro, la misura è una funzione che a degli insiemi (di una sigma algebra, nel caso dei reali dovrebbe essere quella dei boreliani?) assegna un valore non negativo.
Ora, dunque, deduco che essendo una funzione che associa ecc... valori "non negativi", non potrebbe essere definita tramite il sup per questioni che involvono gli insiemi di misura nulla.
Dovrebbe essere un analogo di questa cosa:
sup${- 1/n}=0$ ($n\in \NN \setminus {0}$).
Per ogni $n$, $-1/n$ è negativo anche se il suo sup è nullo.
Forse non mi sono espresso alla grande, però spero che si sia capito il concetto.
devo essere sincero non ho capito molto il tuo discorso... quello che dice francesco71 è un sup rispetto a cose già positive ($l(J_k)$...
A quanto ricordo la misura interna è definita sui compatti (sempre come il sup della misura dell'unione di plurirettangoli contenuti nell'insieme) mentre quella esterna sugli aperti in maniera analoga. E la sigma algebra di Lebesgue è definita dagli insiemi per cui queste due coincidono. La misura interna ed esterna per compatti e aperti coincide con la misura di Lebesgue.
@fu^2
Non mi capisco nemmeno da me, non preoccuparti.
Avevo fatto l'esempio di misura nulla la cui misura era data dall'unione di insiemi a misura negativa (impossibile in partenza).
Se è il "sup", non deve esserci per forza - in quella unione - un insieme di misura nulla, altrimenti potrebbe anche essere un "max" che è una condizione più forte del semplice "sup". [size=85]No?[/size]
Non mi capisco nemmeno da me, non preoccuparti.
Avevo fatto l'esempio di misura nulla la cui misura era data dall'unione di insiemi a misura negativa (impossibile in partenza).
Se è il "sup", non deve esserci per forza - in quella unione - un insieme di misura nulla, altrimenti potrebbe anche essere un "max" che è una condizione più forte del semplice "sup". [size=85]No?[/size]
Cioè visto che la misura esterna di Lebesgue è definita considerando ricoprimenti numerabili dell'insieme $E$, mentre nella teoria di Peano Jordan si considerano solo ricoprimenti finiti, mi chiedevo appunto se la stessa generalizzazione poteva valere anche per la misura interna.
Ho trovato in rete un risultato dove diceva di no, vedo un attimo se riesco a ritrovarlo...
Ho trovato in rete un risultato dove diceva di no, vedo un attimo se riesco a ritrovarlo...
Ehe! La dispensa del mio Prof. di analisi!
È bello trovare qualcuno che si è posto la tua stessa domanda, ti fa sentire meno folle: http://math.stackexchange.com/questions/282508/inner-measure-from-premeasure-on-a-ring
Faccio un esempio d'insieme misurabile secondo Lebesgue in cui la misura interna definita da Francesco71 non coincide con quella di Lebesgue. Sia $E$ l'insieme definito come il quadrato \([0,1]\times[0,1]\) privato dei punti con entrambe le coordinate razionali. Dal momento che nessun intervallo (non degenere) è contenuto in $E$ la sua misura interna secondo la definizione di Francesco71 è $0$, mentre sappiamo che questo insieme è misurabile secondo Lebesgue e ha misura $1$.
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