Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Salve a tutti, è la prima volta che scrivo in questa sezione , propongo il seguente limite (nella speranza che qualcuno non lo abbia già postato): $ lim_(x->0^+)x^(x^x-1) $ , penso che molti di voi potrebbero trovarlo facile però secondo me ha uno svolgimento interessante... Buon divertimento P.S. Il risultato è nello spoiler:
$ lim_(x->0^+)x^(x^x-1)=1 $
Preso un punto in un quadrato di lato unitario(sia all'interno che sulla frontiera) si consideri la somma delle distanze di tale punto dai 4 vertici del quadrato.
Stabilire per quale(i) punto(i) la somma è massima e dimostrare i risultati ottenuti
Problema. Per ogni numero reale \(x\) sia \[f(x) = \sum_{ n \in S_x} \left( \frac{1}{2} \right)^n \]ove \[ S_x = \{ n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \, : \, \lfloor n x \rfloor \equiv 0 \, (\text{mod } 2) \}. \] Mostrare che \[ f(x) \ge 1/2 + 1/16 + 1/128 \]per ogni \(x \in [0,1)\).
Nota. Ho la sensazione che in realtà valga \[f(x) \ge \sum_{i=0}^\infty \left( \frac{1}{2} \right)^{1 + 3i} = \frac{4}{7}\]per ogni \(x \in [0,1)\), ma non riesco a dimostrarlo...
Esercizio. Mostrare che \[ \prod_{n=1}^{\infty} \sqrt[2^n]{2^n} = 4. \]
In Analisi Armonica si introduce, per vari motivi, lo spazio delle bounded mean oscillation functions, brevemente \(BMO\), che è così definito: \[BMO (\mathbb{R}^N) := \{ f \in L^1_{\text{loc}} (\mathbb{R}^N) / \{\text{funzioni costanti}\} \, : \, \forall \, B \subseteq{R}^N \text{ palla }, \frac{1}{m(B)} \int_B |f(x) - f(B)| \, dx \le C \} \]con \(C \) indipendente da \(B\) e \[f(B):= \frac{1}{m(B)} \int_B f(x) \, dx.\]Questo spazio, dotato della norma \(\| \cdot \|_* = \inf C\) diviene uno ...
Certi integrali si trovano facilmente sostituendo la variabile d'integrazione con una funzione iperbolica.
E' il caso della ricerca d'una primitiva di una funzione del tipo
$f(x) = P(x)·sqrt(x^2 +1)$ (dove $P(x)$ è un polinomio in $x$)
nel quale conviene la posizione $x = sinh(φ)$ da cui consegue:
$sqrt(x^2+1)=cosh(φ)$ ∧ $dx=cosh(φ)·dφ$.
Gli stessi integrali diventano molto meno semplici ignorando le funzioni iperboliche.Per esempio, l'ntegrale
$\int\x^2sqrt(x^2+1)dx$
si può fare ...
Qualcuno mi aiuta nella costruzione di numeri come 9,(9)0 come descritto all'indirizzo http://www.academia.edu/25793379/9_9_0 dove dovevo scrivere “a = 0,(9)” (ed in seguito nella costruzione di numeri come 0,1(2)(3)4(5)6)? Scrivetemi pure all'indirizzo di posta elettronica massimodacasto@virgilio.it.
Massimo Dacasto
"Erasmus_First":UP!
Era forse meglio se, invece di rilanciare, aprivo un altro thread.
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Riproviamo!
1) Sia 0 < $ a $ < 1. Provare l'uguaglianza seguente: \[ \int_{a}^{1}\frac{\ln(x)}{x^2-1}dx =\int_{1}^{1/a}\frac{\ln(x)}{x^2-1}dx \]
2) Calcolare l'integrale \[ \int_{0}^{+∞}\frac{\ln(x)}{x^2-1}dx . \]
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Salve!
Oggi, leggendo un po' di post in questa sezione, sono incappato in un criterio di divisibiltà (quello del 7, precisamente) e leggendolo mi sono chiesto se i criteri di divisibilità fossero un qualcosa di "rigorosamente dimostrato" oppure no.
Faccio un esempio:
Il criterio di divisibilità del 7, e cito da wikipedia, "Wikipedia.org":Un numero è divisibile per 7 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità (prenumero) e il quintuplo della cifra delle unità ...
salve a tutti,
sono nuovo qua dentro.
mi chiamo Luk, vivo in Olanda e sono pigro (come vuole madre natura ).
tuttavia il mio cervello (retro') non vuole smettere di pensare a questioni bizzarre e dato che sono forzatamente in vacanza perenne ho pure il tempo di crearmi inutili problemi.
vado al dunque:
premetto che non ne capisco l'utilita' , ma vorrei conoscere un dato preciso e cioe' :
il cerchio e il centimetro?
noi sappiamo che il 3,14 e' la quantita' di frazioni del diametro del ...
Buongiorno a tutti! Scrivo su questo sito per tentare di capire una cosa, recentemente ho provato ad affrontare questo problema:
Trovare tutti i numeri che soddisfano quest'equazione $a^7+b^7=7^c$,dove a b e c sono numeri interi.So già che non esistono e per dimostrarlo ho pensato a questo ragionamento, si riscrive la formula così $a^7=b^7((7^(c/7)/b)^7-1)^(1/7)$, e si vede che c deve essere un multiplo di 7 da cui $ a^7+b^7=(7^n)^7$, che è impossibile per il teorema di Fermat. Pensate sia un ragionamento ...
Esercizio/problema. Data \(f \in \mathcal{C}^1_c(a,b)\), mostrare che vale \[ \|f \|_{L^p (a,b)} \le \frac{b-a}{p^{1/p}} \|f'\|_{L^p (a,b)} \] per \(p \in [1,\infty[\).
Calcolare il gruppo fondamentale dello spazio topologico delle matrici reali 3x3 di rango 1.
La breve dimostrazione geometrica che sto per farvi vedere è stata tradotta dall'articolo [url=https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://arxiv.org/pdf/0704.1282&ved=0ahUKEwj_j77cxNTNAhVM7BQKHZtwC-cQFggbMAA&usg=AFQjCNFILZ0cMuK63H4N-noeugi-eZwqPQ&sig2=ZqjAi5hgUsC77Wz94Z3w8g]A geometric proof that $ e $ is irrational and a new measure of its irrationality[/url] di J. Sondow.
Consideriamo l'intervallo chiuso $I_1=[2,3]$, costruiamo quindi una successione di ...
Problema. Sia \(f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \} ) \) tale che \[\int_{|x|=r} f(x) \, d S (x) = 0 \quad \forall \, r > 0 \] e per cui valga la seguente condizione di Hölder \[|f(x +h) - f(x) | \le \frac{|h|^{\alpha}}{ |x|^{n+\alpha}} \]con \(|h| \le |x| /2\) e \( 0 < \alpha \le 1 \).
È vero o falso che \[ |f(x)| \le C |x|^{-n}\] per una certa costante \(C>0\)?
Possiedo una (mia) soluzione.
Salve a tutti,
posto in questa sezione perchè mi pare la più appropriata.
Mi trovo a dover dimostrare che la Simmetrizzazione di Steiner riduce il perimetro.
In particolare, dato un triangolo $T$ a cui viene applicata la Simmetrizzazione di Steiner ottenendo il triangolo $T_1=s_uT$. Come posso dimostrare che $p(T_1)<p(T)$?
Intuitivamente, $T_1$ è un triangolo equilatero. Come faccio a provarlo in maniera rigorosa?
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Calcolare al variare di $\alpha$ l'integrale:
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{\log x}{x^2+\alpha^2}dx$$
P.s. questo l'ho preso da un altro forum...
Sia $A \subset \mathbb{R}^2$ un insieme aperto e convesso, e $P$ un punto non appartenente ad $A$. Mostrare che esiste una retta incidente a $P$ che non interseca $A$.
Problema.Calcolare il gruppo fondamentale del toro $T^2$ a cui sono stati tolti dalla superficie due dischi aperti $D_1^2,D_2^2$ disgiunti.
Data \(f \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n)\), definisco \[Mf(x) := \sup_{r > 0} \frac{1}{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)} |f(y)| \, dy. \]Trattasi dell'Hardy-Littlewood maximal function.
Esercizio. Posto \(n=1\), trovare una funzione \(f \in L^1 (\mathbb{R})\) tale che \(M f \notin L^1_{\text{loc}} (\mathbb{R}) \).
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