Quesito
Ciao, propongo un quesito, non so se ha senso 
ma mi è venuto in mente per caso.
Sia $a \in \RR, a > 0$. Definiamo l'insieme:
$B(a) := {b \in \RR, b > a \ : \AA k \in \RR, k \in (0,a) \EE n \in \NN \ : nk \in [a,b]} \subseteq (a,oo)$
e denotiamo con $|B(a)|$ la misura di Lebesgue sui reali.
Domande:
- Calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{inf}} |B(a)|[/tex]; esiste $\min_{a} |B(a)|$? se sì, calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{argmin}} |B(a)|[/tex]
- Calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{sup}} |B(a)|[/tex]; esiste $\max_{a} |B(a)|$? se sì, calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{argmax}} |B(a)|[/tex]
- Per quali $a$, $B(a) = (a,oo)$?
Ciao
ma mi è venuto in mente per caso.Sia $a \in \RR, a > 0$. Definiamo l'insieme:
$B(a) := {b \in \RR, b > a \ : \AA k \in \RR, k \in (0,a) \EE n \in \NN \ : nk \in [a,b]} \subseteq (a,oo)$
e denotiamo con $|B(a)|$ la misura di Lebesgue sui reali.
Domande:
- Calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{inf}} |B(a)|[/tex]; esiste $\min_{a} |B(a)|$? se sì, calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{argmin}} |B(a)|[/tex]
- Calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{sup}} |B(a)|[/tex]; esiste $\max_{a} |B(a)|$? se sì, calcolare [tex]\underset{a}{\mbox{argmax}} |B(a)|[/tex]
- Per quali $a$, $B(a) = (a,oo)$?
Ciao
Risposte
Mi sa che sei fuori zona, non sono argomenti da scuola secondaria, lo sposto nell'area pensare un po' di più.
Grazie, sorry!
credo che la definizione dell'insieme non sia ben posta. Nella scelta dei b devi sapere quanto è b.
scusami non ho capito che intendi, praticamente dicendolo a parole:
fissato un $a$, un $b>a$ appartiene all'insieme $B(a)$ se l'intervallo $[a,b]$ che si viene a creare è tale che comunque scelgo un $k < a$ trovo almeno un $n \in NN$ tale che $kn \in [a,b]$.
Ad esempio, se $a=1$, sicuramente $b=2$ appartiene a $B(a)$. Infatti,
se $k \in [1/2,1)$ allora con $n=2$, $nk \in [1,2]$;
se $k \in [1/4,1/2)$ allora con $n=4$, $nk \in [1,2]$;
ecc
fissato un $a$, un $b>a$ appartiene all'insieme $B(a)$ se l'intervallo $[a,b]$ che si viene a creare è tale che comunque scelgo un $k < a$ trovo almeno un $n \in NN$ tale che $kn \in [a,b]$.
Ad esempio, se $a=1$, sicuramente $b=2$ appartiene a $B(a)$. Infatti,
se $k \in [1/2,1)$ allora con $n=2$, $nk \in [1,2]$;
se $k \in [1/4,1/2)$ allora con $n=4$, $nk \in [1,2]$;
ecc
infatti ha ragione 
pensandoci abbiamo che $B(a) supe (2a,infty)$ basta moltiplicare ogni k per 2 finchè non diventa maggiore di a quindi il sup è infinito.
Mentre qualunque sia b, $a/n in B(a)$ e $a/n rarr 0$ quindi l'inf è 0.
L'ultimo punto forse è da pensarci un po' di più.
In effetti è uscito un quesito interessante XD
pensandoci abbiamo che $B(a) supe (2a,infty)$ basta moltiplicare ogni k per 2 finchè non diventa maggiore di a quindi il sup è infinito.
Mentre qualunque sia b, $a/n in B(a)$ e $a/n rarr 0$ quindi l'inf è 0.
L'ultimo punto forse è da pensarci un po' di più.
In effetti è uscito un quesito interessante XD
oddio non ho letto che intendevi la misura di lebesgue, quindi le conclusioni sono sbagliate, però abbiamo comunque che la misura è sempre infinita XD
in effetti, supponiamo che $EE b<2a$ con $b in B(a)$ allora scelgo $k=a-\epsilon$ e il suo più piccolo multiplo è $2k=2a-2epsilon$ e con $epsilon rarr 0$ è maggiore di b. Quindi sembrerebbe che $B(a)=[2a,infty)$ XD
Già, hai ragione, peccato alla fine non è risultato niente di particolarmente interessante... Grazie comunque dell'idea 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo