L' assioma della scelta
L'assioma della scelta dice " Se $A$ è un insieme non vuoto e supponiamo che anche i suoi elementi siano tutti insiemi non vuoti, allora esiste un'applicazione $f : A \rightarrow f(A) $ tale che $f(x) \in x$ per ogni $x \in A$ ".
E' giusta questa formulazione ? E se è giusta perché ad esempio una dimostrazione del tipo " Se $x \in A$, allora $x$ per ipotesi non è vuoto, quindi esiste un $z \in x$. Scriviamo $A=\{ x_{i}:i \in I\}$ cosicché $z_{i} \in x_{i}$ per ogni $i \in I $; allora l'applicazione $A \rightarrow f(A)$ dove per ogni $i \in I$, $ x_{i} \mapsto f(x_{i}):=z_{i} \in x_{i}$ è quella cercata " è illecita?
Forse perché scrivendo $A$ nella forma $A=\{ x_{i}:i \in I \}$ si pretende tacitamente che esista un insieme $I$ e una corrispondenza biunivoca $I \rightarrow A$ con $ i \mapsto x_{i} \in A$, è così ?
E' giusta questa formulazione ? E se è giusta perché ad esempio una dimostrazione del tipo " Se $x \in A$, allora $x$ per ipotesi non è vuoto, quindi esiste un $z \in x$. Scriviamo $A=\{ x_{i}:i \in I\}$ cosicché $z_{i} \in x_{i}$ per ogni $i \in I $; allora l'applicazione $A \rightarrow f(A)$ dove per ogni $i \in I$, $ x_{i} \mapsto f(x_{i}):=z_{i} \in x_{i}$ è quella cercata " è illecita?
Forse perché scrivendo $A$ nella forma $A=\{ x_{i}:i \in I \}$ si pretende tacitamente che esista un insieme $I$ e una corrispondenza biunivoca $I \rightarrow A$ con $ i \mapsto x_{i} \in A$, è così ?
Risposte
È come se applicassi l'assioma per dimostrarlo secondo me...
L'assioma della scelta è indecidibile rispetto al l'assiomatizzazione della teoria degli insiemi tradizionale
L'assioma della scelta è indecidibile rispetto al l'assiomatizzazione della teoria degli insiemi tradizionale
[quote=dan95]È come se applicassi l'assioma per dimostrarlo secondo me...
In che senso, voglio dire, in quale parte l'ho usato?
In che senso, voglio dire, in quale parte l'ho usato?
Supponiamo che $A$ non sia numerabile e $I$ lo sia, allora non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra $I$ e $A$.
Non ho ben compreso il tentativo. Sei partito dall'ipotesi che $A$ fosse non vuoto, poi hai definito una "catalogazione" di $A$ tramite l'insieme $I$, in questo passaggio a me sembrerebbe che tu abbia applicato l'assioma del buon ordinamento che se non sbaglio è equivalente all'assioma della scelta, vabbé comunque se ti interessa ho trovato qualcosina sull'argomento:
http://www.matematicamente.it/forum/lemma-di-zorn-e-assioma-della-scelta-t72317.html
Non ho ben compreso il tentativo. Sei partito dall'ipotesi che $A$ fosse non vuoto, poi hai definito una "catalogazione" di $A$ tramite l'insieme $I$, in questo passaggio a me sembrerebbe che tu abbia applicato l'assioma del buon ordinamento che se non sbaglio è equivalente all'assioma della scelta, vabbé comunque se ti interessa ho trovato qualcosina sull'argomento:
http://www.matematicamente.it/forum/lemma-di-zorn-e-assioma-della-scelta-t72317.html
Ho capito, sono d'accordo, anche io sospettavo qualcosa del genere, grazie comunque di avermi
risposto e chiarito le idee.
risposto e chiarito le idee.
Ho un altro dubbio riguardo l'assioma della scelta. Perché in ZF (=Teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel), pare che non sia dimostrabile neanche l'assioma di scelta numerabile, esso afferma che se $A$ è un insieme numerabilmente infinito i cui elementi sono insiemi non vuoti (e tra loro disgiunti, ma non so se serve), allora esiste una funzione di scelta che ha come dominio $A$, $f:A\rightarrow \cup A$ tale che $f(a)\in a$ per ogni $a\inA$.
Ma dico se $A$ è numerabile, allora per definizione esiste una biiezione $\mathbb{N}\rightarrow A$, quindi una sua indicizzazione, $I ∋ i\mapsto a_{i} \in A =\{a_{i} :i \in I\}$ con $I=\mathbb{N}$ e per ogni $i\in I$ esiste $x_{i}\in a_{i}$ dato che gli $a_{i}$ non sono vuoti per ogni $i\in I$.
$A ∋ a_{i}\mapsto f(a_{i}):=x_{i}\in a_{i}\subset\cup A$, non è forse una funzione di scelta per $A$?
Se è vero che non è dimostrabile l'assioma di scelta numerabile (restrizione di quello più generale) in ZF, dove sta il passaggio illecito nella "dimostrazione"?
Ma dico se $A$ è numerabile, allora per definizione esiste una biiezione $\mathbb{N}\rightarrow A$, quindi una sua indicizzazione, $I ∋ i\mapsto a_{i} \in A =\{a_{i} :i \in I\}$ con $I=\mathbb{N}$ e per ogni $i\in I$ esiste $x_{i}\in a_{i}$ dato che gli $a_{i}$ non sono vuoti per ogni $i\in I$.
$A ∋ a_{i}\mapsto f(a_{i}):=x_{i}\in a_{i}\subset\cup A$, non è forse una funzione di scelta per $A$?
Se è vero che non è dimostrabile l'assioma di scelta numerabile (restrizione di quello più generale) in ZF, dove sta il passaggio illecito nella "dimostrazione"?
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