Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Sia $B=(B_t)_{t\in[0,1]}$ un moto browniano (M.B.) reale e supponiamo che abbiamo traiettorie continue per ogni $\omega\in\Omega$.
Consideriamo la v.a. $I=\i n f{B_t : t\in [0,1]}$. Allora $I$ è un v.a. normale!
che è una v.a. discende dal fatto che $I=\i n f{B_t : t\in [0,1]\cap QQ}$
che è normale dalla definizione di inf. Infatti per Weiestrass esiste un punto $t_0\in [0,1]$ in cui l'inf è raggiunto. Dunque data una successione $t_n\to t_0$ si ha che, per la continuità che $I=B_{t_0}=\lim B_{t_n}$ e ...
Siano [tex]a \geq 0[/tex] un intero, [tex]p[/tex] un numero primo e [tex]G[/tex] un gruppo semplice di ordine [tex]p^a \cdot 15[/tex]. Dimostrare che [tex]G \cong A_5[/tex].
Lo trovo un esercizio molto bello. E' preso da un foglio dato durante questa geniale scuola estiva a cui ho partecipato (li' era [tex]p=2[/tex], ma il risultato vale per un [tex]p[/tex] generico). Il caso generale segue abbastanza facilmente una volta risolto il caso [tex]p=2[/tex].
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Studente Anonimo
8 dic 2010, 11:48
Vi propongo questo piccolissimo esercizio che si risolve tranquillamente con le conoscenze di Analisi I. Non è chissà che, ma lo trovo piacevole.
Sia [tex]f\in C(0,+\infty )[/tex] con le proprietà che
[tex]\displaystyle{ \underset{x\to 0^+} \lim xf(x) = -\infty,\;\;\;\;\;\; \underset{x\to +\infty} \lim \frac {f(x)}{x} = +\infty }[/tex]
Dimostrare che l'equazione [tex]f(x)=\log (x)[/tex] ammette almeno una soluzione in [tex](0,+\infty)[/tex].
Almeno, credo che sia un classico.
Calcolare esplicitamente
[tex]p(n) = \displaystyle \sum \frac{1}{xy}[/tex]
dove la somma è estesa a tutte le coppie di interi positivi [tex](x,y)[/tex] tali che [tex]MCD(x,y) = 1[/tex], [tex]x \le n[/tex], [tex]y \le n[/tex] e [tex]x + y > n[/tex].
Mentre si parlava d'altro, qui è nata questa domanda:
"gugo82":I due teoremi di Cesàro dicono che se [tex]$(x_n)$[/tex] è una successione positiva (per farli funzionare entrambi contemporaneamente) e convergente, allora pure le due successioni di termini generali:
[tex]$\alpha_n:= A(x_1,\ldots ,x_n)$[/tex] e [tex]$\gamma_n:=G(x_1,\ldots ,x_n)$[/tex],
ove [tex]$A(\cdot)$[/tex] e [tex]$G(\cdot)$[/tex] denotano le media aritmetica e geometrica, convergono allo stesso ...
Ammetto di non essere riuscito a risolverlo, voglio comunque proporlo a voi.
"Sia $f:RR\to RR$ una funzione derivabile due volte e supponiamo che esistano due costanti positive $M_0, M_2$ tali che $|f(x)|<=M_0$ e $|f''(x)|<=M_2$ per ogni $x\in RR$.
Allora $|f'(x)<=2\sqrt{M_0M_2}$."
Per la mia tesina per il diploma mi sto occupando di numeri primi, sto usando l'Apostol come guida, ma mi sono imbattuto in una funzione di cui non riesco a trovare una formula chiusa:
$k=lim_(n -> oo ) sum_(i=1)^n1/(phi(i))^2 $
Dove $phi(i)$ é la totient function di Eulero
Se qualcuno ha qualche idea, me lo faccia sapere. Basterebbe anche un'approssimazione...
P.S.: non mi riesce la phi minuscola, mi dispiace
Ciao a tutti. Dopo una lunga assenza dovuta a una temporanea caduta di entusiasmo verso la matematica, torno a scrivere finalmente su questo bel forum.
Non sono sicuro che questa sia la sezine adatta, nel caso mi scuso, ma il problema che ho da proporre non ha trovato soluzione nemmeno da parte di alcuni miei docenti a cui mi sono rivolto, quindi ho preferito non postare nella sezione Analisi.
Veniamo al dunque. Col mio relatore di tesi stiamo analizzando un articolo di S. S. Chern (a fine ...
Stavo leggendo le due discussioni di Martino http://www.matematicamente.it/forum/un-prodotto-curioso-di-seni-t74412.html e di robbstak http://www.matematicamente.it/forum/un-altro-prodotto-di-funzioni-goniometriche-t75147.html e mi è venuto in mente un problemino che, per quanto fino ad ora abbia provato a risolvere non mi ha portato da nessuna parte.
E' noto (ed anche abbastanza facile da dimostrare) come si esprimano le formule di "moltiplicazione" per il seno e per il coseno (in parole povere [tex]$\sin(nx),\ \cos(nx),\ n\in\mathbb{N},\ n\geq 1$[/tex]) in termini di combinazione lineare di potenze delle sole funzioni [tex]$\sin x,\ \cos x$[/tex] ...
Sia qui e nel seguito [tex](S,\le)[/tex] un reticolo ordinato e siano [tex]\wedge, \lor : S \times S \to S[/tex] le operazioni definite da [tex]a \wedge b := \inf \{a,b\}[/tex], [tex]a \lor b := \sup \{a,b\}[/tex].
Definizione. Diciamo che [tex]p \in S[/tex] è un elemento primo se ogni volta che [tex]a \lor b = p[/tex] allora [tex]a = p[/tex] oppure [tex]b = p[/tex].
Definizione. Sia [tex]A \subseteq S[/tex] un sottoinsieme di [tex]S[/tex]. Diciamo segmento inferiore generato da ...
Propongo il seguente problema.
Siano [tex]p,q \in \mathbb{R}[/tex] tali che [tex]0
questo è un esercizio proposto dal mio prof di analisi 1 per gli analisti piu bravi.
nonostante si possa fare con le conoscenze di analisi 1, nemmeno dopo un anno nessuno del mio corso è ancora riuscito a risolverlo,quindi non conosco la soluzione.
determinare il carattere(se converge o meno) della serie [tex]\displaystyle s_k = \sum_{n=1}^{ k } \frac{1}{n^{1+|sin(n)|}}[/tex] per $k$ che tende a infinito.
buon divertimento
Questo è un esercizio per tutti, dal terzo anno del liceo in sù.
Non ho ancora riflettuto sulla soluzione, quindi il problema è aperto per ora.
***
Esercizio:
Aspettando il bus alla fermata, alziamo il naso verso il palazzo di fronte e scorgiamo, su un balcone, una massaia che stende un asciugamano rettangolare ad asciugare sul un filo.
Evidentemente, una massaia seria, una di quelle precisine, stenderebbe l'asciugamano facendo passare esattamente il filo lungo l'asse dei lati ...
Vi propongo un problema piuttosto famoso: appendere un quadro a $2$ chiodi tramite una cordicella in modo che, tolto un qualsiasi chiodo, il quadro cada.
Il problema ha soluzione anche con $n$ chiodi, se volete cimentarvi.
Paola
Sia [tex]m \geq 2[/tex] un intero. Calcolare (trovare un'espressione chiusa per) il prodotto [tex]\prod_{k=1}^{m-1} \sin(\frac{k \pi}{m})[/tex].
Vi propongo questo problema per due ragioni. La prima è che il risultato è piacevolmente inatteso. La seconda è che si presta ad essere risolto con molte tecniche (e aggiungo che almeno una di queste rende sufficienti le conoscenze del liceo).
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Studente Anonimo
29 apr 2011, 19:01
Ho pensato di compilare un piccolo esercizio di riepilogo per un corso di Istituzioni di analisi superiore (per matematici) o di Metodi matematici (per fisici e ingegneri), basandomi su una costruzione trovata tempo fa sul testo The Schrödinger Equation di Berezin e Shubin.
Problema Sia [tex]M[/tex] l'insieme delle funzioni di [tex]\mathbb{R}[/tex] in [tex]\mathbb{C}[/tex] di tipo [tex]P(x)e^{-\frac{x^2}{2}}[/tex], dove [tex]P(x)[/tex] è un polinomio. Dimostrare che [tex]M[/tex] è un ...
E' già capitato nel forum, quindi nel caso doveste trovarlo, vietato scopiazzare.
Livello: tecnicamente, anche liceo se si è in gamba e si sono viste le basi di mat. discreta. Serve ben poco.
Un giocatore esegue infiniti lanci successivi di una moneta.
Ad ogni lancio, le probabilità che escano testa o croce sono entrambe uguali ad [tex]$1/2$[/tex].
Il giocatore parte dal punteggio zero e guadagna 2 punti ogni volta che esce croce ed 1 punto ogni volta che esce testa. ...
Buongiorno a tutti, poiché non so dove chiedere una soluzione a questo problema, spero di aver scelto la sezione più appropriata.
E' una curiosità che mi assilla da qualche giorno.
La mia domanda è:
$ lim_(n -> oo ) sum_2^n 1/p_i^2=L_2 $
Dove $ p_i $ è l'i-esimo primo. Si dimostra abbastanza agevolmente che $ 0<L<1/2 $ ma da qui, gli strumenti che conosco, non mi permettono di proseguire. O meglio, non riesco a trovare una strada per determinare il valore a cui converge la serie.
A ...
Di solito, per dimostrare la formulazione integrale del resto di Taylor:
\[
f(x)=f(x_0)+f^\prime (x_0)\ (x-x_0)+ \cdots + \frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}\ (x-x_0)^{n-1} + \int_{x_0}^x f^{(n)}(t)\ \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\ \text{d} t
\]
si usa iterare [tex]n[/tex] volte la formula di integrazione per parti. Questo io lo trovo un po' macchinoso e oscuro. E' un peccato perché questa formulazione del resto è sicuramente la più versatile e utile. Ad esempio, essa può essere generalizzata a funzioni ...
L'assioma della scelta e' equivalente all'asserto seguente:
Ogni insieme non vuoto ammette una struttura di gruppo.
Sono incorso in questo bel risultato tempo fa, e ora ho (involontariamente) dimenticato come si dimostra. Ci penso. Voi come lo fareste?
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Studente Anonimo
8 dic 2010, 11:38
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