Definizione alternativa della"gamma" di Eulero-Mascheroni

[Erasmus_First]

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[Erasmus_First]

Visto che nessuno interviene, metto un suggerimento.
La dimostrazione richiesta viene facile se:
a) si osserva che, per k intero positivo (grande a piacere):
$1·2/1·3/2·4/3·...·k/(k-1)=k$
per cui anche
$ln(1)+ln(1+1/1) + ln(1+1/2) + ln(1+1/3)+...+ln(1+1/(k-1))=ln(k)$;
b) si ricorda lo sviluppo di $ln(1+x)$ in serie di potenze di $x$
$ln(1+x) = x - (x^2)/2+(x^3)/3+(x^4)/4 +...+(x^n)/n+...$
[che per $x$ reale converge se $-1 per cui, per ogni $h$ intero positivo si ha:
$1/h -ln(1+1/h) = 1/2·1/(h^2)-1/3·1/(h^3)+...+(-1)^n/n·1/(h^n)+...$.

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[theras]

Beh,hai detto tutto tu:
a questo punto basta verificare che sono soddisfatte le condizioni per la scambiabilità del segno di sommattoria nelle serie doppie(i.e. la convergenza di $sum_(n=2)^(+oo) "["sum_(k=1)^(+oo)| ((-1)^(n))/(nk^n)|"]"$)ed il gioco è fatto.
A tal fine basterà osservare che,$AA"n"inNN setminus{0,1}$,si ha $1/(nk^n)le 1/(2k^2)" "AAk in NN setminus{0}$ e ricordare uno dei teoremi di confronto sulle serie numeriche:
saluti dal web.