Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao, ho questo esercizio da risolvere.
Dati i vettori $u = i - j - k , v= i - 2j + k$ , decomporre $v$ nella somma di un vettore parallelo e uno perpendicolare ad $u$.
Chiamo $w_1$=il vettore parallelo ad u e $w_2$= vettore perpendicolare a u.
$w=ai+bj+ck$
$w=ai+bj+ck=lambda(i-j-k)$ Se do al valore $lambda$ un valore arbitrario 2, trovo che $w_1=2i-2j-2k$
$u*w_2=0 -> a-b-c=0 -> w_2(b+c, b, c)$ Per cui, $w_2$ può essere il vettore ...
Salve ragazzi, l'esercizio testualmente è questo:
Esprimere, se è possibile, il vettore (1; 0; 0; 3)T come combinazione lin-
eare dei vettori (1; 0; 3; 4)T , (2; 2; 1; 5)T , (3; 0; 1; 4)T , (2; 1; 0; 3)T .
Allora io innanzitutto ho costruita la matrice relativa al sistema e con il metodo di eliminazione di Gauss ho cercato di trangolarizzarla in modo da risolvere il sistema. Ma sono arrivato a questo punto e mi sono bloccato:
Matrice:
12 3 2 1
02 0 1 0
00-8 -7/2 -3
00 0 ...
Sto iniziando a svolgere degli esercizi di topologia e mi è venuto un dubbio circa questo esercizio.
Dimostrare che [tex]$\bar{S(x_0,\epsilon)}=\{x \in \mathbb{R}^n | d(x,x_0)\leq\epsilon\}[/tex] è denso in $RR,d$ con $d$ distanza euclidea.<br />
<br />
Ricordo cosa vuol dire insieme denso e due caratterizzazioni che possono tornare utili:<br />
Sia [tex]$(S,\mathcal{A})[/tex] spazio topologico ed $X \sub S$. $X$ è denso in $S$ se $bar(X) =S$
Da cui si hanno queste caratterizzazioni:
[tex]$X[/tex] denso in $S$ [tex]$ \Longleftrightarrow \forall x \in S,\forall U \in I(x) : U \cap X \ne ...
Non riesco a capire come si fa questo tipo di esercizio... attraverso le proprietà dello spazio vettoriale non riesco ad arrivare alla soluzione....
Quali di questi sottoinsiemi dei polinomi di grado $ leqslant 3 $ forma un sottospazio vettoriale?
- polinomi di grado 1 e 3
-polinoimi di grado 3
- polinomi di grado zero o due
-polinomi di grado 1
- nessuna delle altre
esiste una dimostrazione per risolverlo?
scusate mi dite la differenza tra le seguenti espressioni:
-completare $v$ ad una base ortogonale di $R^2$
- determinare $v^(\bot)$, il complemento ortogonale di $v$
ciao, se inserisco in una matrice i vettori
(1,0,0,0)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
(0,0,0,1)
nell'ordine in cui li ho scritti il determinante con la regola di sarrus è diverso da zero, se invece li scrivo così:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $
il determinante con Sarrus è uguale a 0 ma continua ad essere diverso da 0 , se utilizzo i complementi algebrici per trovare il determinante.
per quanto riguarda la regola di Sarrus:
non dovrebbe essere sempre lo stesso il determinante anche se si scambiano i ...
Ciao a tutti avrei un problema con questo esercizio inerente le matrici :
Sia A una matrice in $Mat_n$ $RR$
Confutare con un esempio o dimostrare la seguente affermazione:
Se $A^3$ è invertibile allora A è invertibile.
sincermanete non saprei come risolverlo pero vi potrei dire che linee ho utilizzato con un esercizio simile:
" Sia A una matrice in $Mat_n$ $RR$ se $A^2$ è invertibile allora A è ...
Dimostrare che la seguente coppia è costituita da funzioni linearmente indipendenti; sint , cost
a·sint+bcost = 0
due vettori sono linearmente indipendenti se l' unica combinazione lineare di questi vettori che ha come risultato il vettore nullo è quella con i coefficienti tutti nulli;
Premetto che so di sbagliarmi:
1)per t=45 e per a=1 e b =-1 sint e cost non risultano linermente indipendenti; infatti : sin45-cos45=0; correggetemi
2) derivando due volte ottengo : -asint-bsint =0 ...
Buonasera a tutti;
Stamattina, mentre studiavo geometria, mi sono un attimo impanicato su queste equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi.
Dunque... risolvere un esercizio del genere dovrebbe essere facile:
"...Determinare delle equazioni parametriche dei seguenti sottospazi di R3...":
$ { ( x-z=0 ),( x+2y+3z=0 ):} $
Io nel mio ragionamento dico: Siamo in R3 perchè ci sono 3 variabili, è un sistema a due equazioni e a tre incognite e quindi devo risolverlo in funzione di un ...
mi potete scrivere tutti i passaggi per risolvere questi esercizi?grazie per chi risponde
1)dimostrare che nello spazio $V = {f : R → R}$ le funzioni
$f1(t) = 1, f2(t) = t , f3(t) = 2 + 2t$ sono linearmente dipendenti.
2) dimostrare che nello spazio $V = {f : R → R}$ le funzioni
$ f1(t) = 1 , f2(t) = t $sono linearmente indipendenti.
ciao a tutti,allora
sia $F:V->W$
supposto che $Im(f)$ e $N(f)$ hanno dimensione finita vale la seguente: $dim[N(f)]+dim[Im(f)]=n$
dimostrazione:
essendo $N(f)$ un sottospazio di dimensione finita diciamo $dim[N(f)]=s$possiamo prendere una sua base $ {n_1,...,n_s } $
a questo punto prendo $v_1,...v_n$ $inV$ tali che $ {n_1,...,n_s,v_(s+1),...,v_n } $ rappresenti una base di $V$
devo provare che $n-s=dim[Im(f)]$ ovvero che ...
Ciao, spero che qualcuno possa aiutarmi con il mio problema.
Se devo calcolare il gruppo fondamentale di X, dove X è l'unione disgiunta di due insiemi A e B, come faccio? Ad esempio se A e B fossero una sfera (A) e una circonferenza (B), come faccio a calcolare il gruppo fondamentale di A u B? Potrei calcolare singolarmente i due gruppi fondamentali e relazionarli in qualche modo?
grazie!
ho tale sistema lineare
$\{(2x_1 -3x_2 + x_3 - x_4 = 4),(3x_1 + 2x_2 +x_3 -3x_4=1),(5x_1-5x_2+4x_3-6x_4=6),(2x_1-5x_2+4_3-6x_4=6):}$
e la matrice corrispondente è
$((2,-3,1,-1,4),(3,2,1,-3,1),(5,1,-1,1,3),(2,-5,4,-6,6))$
devo verificare che sia compatibile con il teorema citato.
Adesso, come proseguo? Mi conviene scalinare l'intera matrice, o piuttosto, considerare la matrice incompleta e calcolare il minore di ordine massimo (che in questo caso è la matrice incompleta stessa) e vedere se coincide con il rango e successivamente confrontarlo con quello della matrice completa (che dovrà essere per forza di ...
Salve a tutti, in un esercizio si chiede, data l'applicazione $ f: R3 -> R3 $ lineare associata alla matrice A mediante la base canonica
$ ( ( 1 , 0, -1),( 0, 1, 0),( 0, 0, 3) ) $
determinare una base per kerf;
determinare una base di R3 costituita da autovettori per f.
Per trovare la base per kerf, devo porre Ax=0 (giusto??):
$ x-z=0 $
$ y=0 $
$ 3z=0 $
quindi la soluzione è (0,0,0)
Per trovare gli autovettori, prima calcolo gli autovalori ponendo
...
sto cercando di scrivere il seguente sottospazio come soluzione di un sistema lineare omogeneo:
$U=L((1,1,1),(1,-1,0)$
allora io ho pensato cosi: tutti i vettori appartenenti a U sono del tipo:
$a(1,1,1)+b(1,-1,0)=(a+b,a-b,a)$. questo perchè U è generato da quei vettori, e perciò tutti gli altri vettori di U è combinazione lineare di quei due, ok?
tra parentesi, dim(U)=2 perchè i due vettori proposti sono l. indipendenti
bon, allora preso un generico vettore di $R^3$ facciamo $(x,y,z)$ e ...
Sia $A in M_n(R)$ una matrice di ordine n a elementi reali. Dimostrare che la sola funzione $D: M_n(R)rarr R$ lineare rispetto a ciascuna colonna di A e che vale zero quando due colonne di A sono uguali è, a meno di una costante, il determinanate di A.
Potete darmi un aiuto su come fare questa dimostrazione?
Come è fatta questa funzione $D: M_n(R)rarr R$ ???
Devo semplicemente dimostrare che una matrice con due vettori linearmente dipendenti ha il determinante uguale a zero oppure ...
salve a tutti!
Mi potete spiegare come risolvere questo esercizio??
Determinare sul piano π: 3x-z=0 che contiene il punto P(1,1,3)
1) la retta r passante per P ed ortogonale all'asse y;
2) la retta s passante per P e parallela al piano π1: x-2y+z=0
3) la retta t passante per P e incidente la retta:
x-3y=0
z-2=0
Non saprei davvero come procedere...grazie!
Ciao, ho questo esercizio, ma non so come procedere.
Stabilire se il vettore $v = (2, 3, 1)$di $R^3$ appartiene allo spazio vettoriale generato dai vettori $w1 = (1, 1, 2), w2 = (5, 7, 4).$
Ciao a tutti.
Parlando di spettri e risolventi a lezione è capitato di imbatterci nel teorema di Cayley-Hamilton. Cercando un po' su internet ho visto che esistono svariate dimostrazioni ma l'unica che riesco a capire (per mia ignoranza algebrica) dimostra il teorema per le matrici diagonalizzabili e poi conclude affermando che siccome le matrici diagonalizzabili sono dense nello spazio delle matrici e i polinomi sono continui il risultato può essere esteso con continuità a tutto lo ...
salve!
Ho questa matrice, di cui devo individuarne autovalori e autovettori:
$ ( ( 1 , 0, 0),( 2, 3, 0),( 3, 4, 1) ) $
ho calcolato il $ det(A-XI)= (1-X)(3-X)(1-X) $
quindi le soluzioni sono X1=X2=1 ; X3=3
Nel calcolo degli autovettori però, non sono riuscito a trovare una soluzione, e se inserisco la
matrice nel computer mi dice che non è diagonalizzabile e mi da errore!
Aiuto!
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