Esercizio matrici Se $A^3$ è invertibile allora A è invertib

[SELANDA87]

Ciao a tutti avrei un problema con questo esercizio inerente le matrici :

Sia A una matrice in $Mat_n$ $RR$

Confutare con un esempio o dimostrare la seguente affermazione:

Se $A^3$ è invertibile allora A è invertibile.

sincermanete non saprei come risolverlo pero vi potrei dire che linee ho utilizzato con un esercizio simile:
" Sia A una matrice in $Mat_n$ $RR$ se $A^2$ è invertibile allora A è invertibile

svolgimento:

pongo il sistema : $\{(A*B = I),($A^2$*C=I):}$ con B= INVERSA A E C= inversa $A^2$
1) A*B=$A^2$*C
2) A*B-A*C=0
3) A(B-AC)=0
4) $A^2$ è invertibile se A=0 o se B-AC=0
5) A*C=B con C= $A^2$ (elevata alla -1)
6) perciò A=$A^-1$
7) INFINE A( $A^2$)(elevata alla -1)= $A^-1$
se qualcuno può darmi una mano mi farebbe un grandissimo piacere

(essendo il mio primo topic ho cercato di seguire le istruzioni su come scrivere le formule spero di essere stata chiara)

grazie mille


Cristina

[Camillo]

Io userei il Teorema di Binet che dice $det (A*B) = detA *detB $ con $A,B $ matrici quadrate dello stesso ordine.

Ipotesi $detA^3 ne 0 $

Ma per il teorema di Binet $det A^3 = (detA *detA *detA )= (det A)^3 .
Ne consegue che $det A ne 0 $.