Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Volevo chiedere conferma circa questo insieme di aperti.
Data la base [tex]$\mathcal{B}=\{[a,b]:a,b \in \mathbb{R},a<b \leq0\} \cup \{\{x\}:x>0\}[/tex] di una topologia su $RR$ come posso caratterizzare questi aperti?<br />
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Saranno forse nella forma [tex]$\mathcal{A}=\{A \subset \mathbb{R}| A= \bigcup_{anecessariamente unione dei due insieme oppure basta che sia un intervallo chiuso con estremi negativi. Io propenderei per quest'ultima ipotesi ma vorrei avere conferma.
Grazie mille a tutti
Salve. Un piccolo dubbio di sfondo teorico:
Si può pensare a una trasformazione lineare in modo indipendente dalle basi di riferimento? La domanda sorge dalla considerazione che in ogni caso non è possibile dare una descrizione della funzione senza definire un riferimento rispetto a cui porre gli elementi in "input" e "output" della funzione, d'altra parte intuitivamente direi che in ogni caso la funzione stessa va oltre le sue basi, poiché descrive la trasformazione di un oggetto in modo ...
Ripassando un po' di geometria con mia figlia, mi sono scontrato con questo problema,
che non ho saputo risolvere:
Dato il fascio di circonferenze $x^2+y^2+ax+by+c + k(x^2+y^2+dx+ey+f)=0$
se le due circonferenze generatrici hanno due punti di intersezione, tutte le circonferenze
del fascio passano per quei due punti (e quindi i loro centri sono sull'asse del segmento
determinato da tali punti).
Se le due circonferenze non si intersecano, i centri di tutte le circonferenze
del fascio stanno su una retta, ma ...
ho un quesito da porre:
come dimostro, in linguaggio tecnico-matematico, che nel campo complesso il rango di una certa matrice coincide con il rango della matrice aggiunta corrispondente?fondamentalmente so che devo verficare che n-vettori sono linearmente indipendenti se e solo se lo sono i suoi conuigati.
aspetto risposte, grazie
simona
ciao secondo voi va bene la mia dimostrazione?
Data una matrice A hermitiana dimostrare che $exp(iA)$ è unitaria
DIM:
siccome non è detto se A è diagonale possiamo trovare una trasformazione unitaria U t.c. $U^+AU$ è diagonale e quindi ho $exp(iA) = UEU^+$, dove E è la matrice diagonale e il generico elemento sulla diagonale è $exp(ia_k)$ e con $E^x $ invece indico la stessa matrice ma con elementi $exp(-ia_k)$
Allora devo provare che ...
Salve a tutti avevo un quesito: Come posso calcolare la retta passante per un punto $ P(1,1,1) $ ,parallela al piano $ x+y+2z=1 $ e incidente con l'asse z ?
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione ciao!
Durante la lezione il professore ha considerato la topologia naturale di $RR$ e $S1$ cerchio unitario con topologia indotta dalla topologia naturale di $RR^2$ e una funzione del tipo:
$f: RR -> S1 , t -> ( cost,sint)$
Devo dimostrare che la funzione $f$ è aperta.
Ora consideriamo, per defizione di aperta, un aperto della topologia naturale di $RR$ quindi un intorno del tipo $(a,b)$ ( estremi esclusi).
Devo dimostrare che ...
Data la seguente relazione:
$A-BAB'=C$
devo risolvere per $A$.
E' corretta la seguente:
$A=C(I-BB')^{-1}$ ??
il dubbio è sulla post/pre-moltiplicazione...
Grazie a chi risponderà
Stavo svolgendo un esercizio e mi sono arenato sul mostrare che uno spazio non è compatto.
Considero questo insieme [tex]$B=\{ \{x\} \cup ]0,\infty[ | x \in \mathbb{R} \}[/tex] che è la base di una topologia su [tex]\mathbb{R}[/tex].<br />
Questa topologia, chiamiamola [tex]$\tau[/tex] possiamo scriverla così: [tex]$\tau= \{\,B\cup]0,+\infty[:\,B\subset \mathbb{R}\,\}\cup\{\emptyset\}[/tex]<br />
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Mi si chiede di dimostrare che è connesso, ed è facile osservando che di aperti disgiunti non vuoti non ve ne sono ([tex]\mathbb{R}[/tex] a parte).<br />
<br />
E mi si chiede di provare che invece non è compatto. Qui ho dei problemi. <br />
L'idea è quella di prendere un ricoprimento che è del tipo [tex]$\bigcup_{i \in J} \{x_i\} \cup ]0,+\infty[[/tex] con $J$ finito e si ha quindi che ogni [tex]x_k, k \notin J[/tex] questo non appartiene al ricoprimento costruito. Però non sono convinto di questa cosa. Anche perchè preso [tex]B=]-\infty,0][/tex] l'insieme [tex]A=B \cup ...
Ciao ragazzi, ho una domanda da porvi riguardo la definizione di determinante. Vi spiego come ce l'ha spiegato il professore in classe.
Dimostreremo che esiste una (e un' unica) funzione (dallo spazio delle matrici di ordine $n$ ad $RR$)con queste proprietà:
i- $det_n(I)=1$;
ii- $det_n$ è lineare sulle righe di $A\inM(nxn)$;
iii- scambiando due righe il determinante cambia segno.
Dopodichè abbiamo dedotto alcune conseguenze di queste ...
Salve a tutti
Non ho ben chiara una parte della teoria riguardande le matrici simili.
Mi chiedevo se qualche anima pia possa spiegarmela
grazie
la parte in questione è:
Supponiamo A rappresenti f nella base B={v1,v2,....vn} di V e sia A'∈Mn(R) la matrice che rappresenta f nella base B'={v1',v2'...vn'} di V
allora si ha:
(1.0)$ Y=AX$
(2.0) $Y'=A'X'$
inoltre per una opportuna matrice C∈GLn(R) deve avere:
(3.0) $Z=CZ'$
usando la (3.0) ...
salve ragazzi ho l'esame di algebr e geom. mi dà nell'esercizio la base del Kerf e mi dà 2vettori di cui ne fa l'immagine, e mi kiede se esiste l'applic lineare
io procedo nel seguente modo
prendo 1generico vettore a,b,c,d e lo pongo cm comb lineare degli scalari h per i vettori della base del kerd e degli altri vettori ke m'ha dato, poi 1vlt calcolata la comb lineare pongo le componenti del vettore generico uguali alle varie componenti ke mi sn venute dalla combinazione dp di kè passo cn ...
allora non riesco a capire penso un semplice passaggio:
DAta una conica C di equazione 9x^2+4xy+6y^2-10y=0 ridurre a forma canonica e riconoscere il tipo di conica.
allora la matrice A: matrix{9 # 2 # 0} newline matrix{2 # 6 # -5} newline matrix{0 # -5 # 0}
poi ho preso la prima matrice 2x2 e ne ho trovati gli autovalori k_{1} = 5 e k_{2} = 10 quindi i 2 autovalori trovati sono 5 e 10 gli autovettori il libro me li consiglia come i-2j per 5 e l'autovettore di 10 come 2i+j.
poi ...
$ oo $
salve ragazzi. ho svolto un esercizio ma non sono sicura se l'ho fatto bene. la traccia è la seguente: sia dato il sistema lineare omogeneo di 3 equazioni in 3 incognite
4ax +4y +2z=0
2x +2ay +6z=0
-2x -2y +2z=0
discture il rango della matrice dei coefficienti, al variare del paramentro a. dopo aver stabilito per quali valori di a il sistema è indeterminato, trovare le soluzioni con la regola di cramer.
anzitutto il rango può essere minore o uguale a 3. ho ...
Cosa devo dire per provare che lo spazio delle derivazioni della spiga di germi di funzioni differenziabili costituisce uno spazio vettoriale di dimensione finita?
Vorrei chiedere un consiglio riguardo la scelta di un testo di geometria elementare, dove con il termine "geometria elementare" intendo riferirmi alla geometria costruita sinteticamente a partire dagli assiomi di Euclide-Hilbert. Sebbene io abbia una conoscenza sufficiente della geometria euclidea fondata sul concetto di vettore e l'algebra lineare, non sono riuscito a trovare un testo che trattasse la geometria fondata sugli assiomi di Hilbert in maniera soddisfacente (le librerie cui mi sono ...
ciao a tutti sono appena arrivata nel forum! avrei una domanda di topologia: un esercizio mi chiede se è possibile effettuare la compattificazione di Alexandroff di Q. Io credo che non sia possibile in quanto Q non è localmente compatto ma non ne sono sicura. Potreste aiutarmi? Grazie 1000!!
Salve a tutti,
qualcuno può aiutarmi a risolvere questo esercizio?
Siano [tex]A, B \in M_{3,3}(\mathbb{R})[/tex] le matrici:
[tex]A=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 7 \\ 1 & -3 & -1\end{vmatrix}, \qquad B=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}[/tex]
Scrivi le matrici associate agli endomorfismi [tex]L_A, L_B : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/tex] rispetto alle due basi seguenti:
[tex]\mathfrak{B}_1 = \left \{ \begin{vmatrix}-3 \\ 3 \\ 1 ...
Ciao ragazzi, sto incontrando delle difficoltà a conciliare lo studio del testo con ciò che mi si insegna a lezione. Il professore ha spiegato le matrici di cambiamento di coordinate, specificando che nel libro invece tratta di matrici di cambiamento di basi, e dicendo che "e' tutto il contrario di quello che stiamo facendo". Il problema è che gli esercizi li prendo dal libro, dunque, devo studiarmi anche il passaggio di basi: ho provato ma ho visto che tende a confondermi le idee con quanto ...
Salve a tutti,
scrivo perchè avendo abbandonato per un po di tempo l universita per motivi di lavoro mi trovo a dover sostenere alcuni esami a dicembre e mi sento un po con l'acqua alla gola
Dovendo fare l'esame di algebra sto svolgendo alcuni esercizi e su due in particolare ho dei dubbi:
1)in $R3$ sono dati i vettori v=(2,1,3) w=(1,k,k). Verificare che v e w sono linearmente indipendenti per ogni valore di k e per ogni valore di k trovare un vettore u tale che v,w,u sia ...
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