Passare da forma parametrica a cartesiana

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sto cercando di scrivere il seguente sottospazio come soluzione di un sistema lineare omogeneo:
$U=L((1,1,1),(1,-1,0)$
allora io ho pensato cosi: tutti i vettori appartenenti a U sono del tipo:
$a(1,1,1)+b(1,-1,0)=(a+b,a-b,a)$. questo perchè U è generato da quei vettori, e perciò tutti gli altri vettori di U è combinazione lineare di quei due, ok?
tra parentesi, dim(U)=2 perchè i due vettori proposti sono l. indipendenti
bon, allora preso un generico vettore di $R^3$ facciamo $(x,y,z)$ e quindi per quanto ho detto sopra
$(a+b,a-b,a)=(x,y,z)$
e mi riporto al sistema
$\{(a+b=x),(a-b=y),(a=z):}$ la cui matrice associata è:
$((1,1,x),(1,-1,y),(1,0,z))$ la riduco per righe e mi risulta
$((1,1,x),(0,2,x-y),(0,0,x-2z+y))$
quindi tutto mi torna a questo sistema:
$U={(x,y,z) in R^3| x-2z+y=0}$
è giusto il procedimento??
ah un' altra cosa importante per me:
il primo sistema lineare proposto qui
http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... volti5.pdf

conclude con questa frase:
In particolare l’insieme delle soluzioni del primo sistema è
$V := { (−a,−5a, 4a) | a in R } = L((−1,−5, 4))$
da dove lo ha preso quell'insieme??

[cirasa]

"blabla":...
è giusto il procedimento??

Sì

"blabla": conclude con questa frase:
In particolare l’insieme delle soluzioni del primo sistema è
$V := { (−a,−5a, 4a) | a in R } = L((−1,−5, 4))$
da dove lo ha preso quell'insieme??

Prima aveva scritto che
$x=-1/4 z$ e $y=-5/4 z$
Quindi tutti i vettori di $V$ sono nelle forma $(-1/4 z, -5/4 z, z)$. In pratica sono tutti i vettori proporzionali a $(-1/4, -5/4, 1)$ ovvero tutti i vettori proporzionali a $(-1, -5, 4)$.

[process11]

grazie mille