Domanda di teoria sul determinante

[bombbbbb234]

Sia $A in M_n(R)$ una matrice di ordine n a elementi reali. Dimostrare che la sola funzione $D: M_n(R)rarr R$ lineare rispetto a ciascuna colonna di A e che vale zero quando due colonne di A sono uguali è, a meno di una costante, il determinanate di A.

Potete darmi un aiuto su come fare questa dimostrazione?
Come è fatta questa funzione $D: M_n(R)rarr R$ ???
Devo semplicemente dimostrare che una matrice con due vettori linearmente dipendenti ha il determinante uguale a zero oppure cosa?

grazie mille

[cirasa]

Puoi provare a dimostrare che per ogni matrice [tex]A[/tex] si ha che [tex]f(A)=D(I_n)D(A)[/tex], dove [tex]I_n[/tex] è la matrice identica.
Otterrai che la costante è esattamente [tex]D(I_n)[/tex].

Scrivi la [tex]j[/tex]-esima colonna [tex]A_{(j)}[/tex]di [tex]A=(a^i_j)[/tex] come
[tex]A_{(j)}=a^1_je_1+a^2_je_2+\dots+a^n_je_n[/tex] dove [tex]e_i[/tex] è il vettore colonna con tutti gli elementi nulli tranne quello di posto [tex]i[/tex] dove è presente un [tex]1[/tex].
Fai ciò con tutte le colonne e poi calcola [tex]D(A)[/tex] usando le ipotesi.