[Topologia]Densità di un insieme
Sto iniziando a svolgere degli esercizi di topologia e mi è venuto un dubbio circa questo esercizio.
Dimostrare che [tex]$\bar{S(x_0,\epsilon)}=\{x \in \mathbb{R}^n | d(x,x_0)\leq\epsilon\}[/tex] è denso in $RR,d$ con $d$ distanza euclidea.
Ricordo cosa vuol dire insieme denso e due caratterizzazioni che possono tornare utili:
Sia [tex]$(S,\mathcal{A})[/tex] spazio topologico ed $X \sub S$. $X$ è denso in $S$ se $bar(X) =S$
Da cui si hanno queste caratterizzazioni:
[tex]$X[/tex] denso in $S$ [tex]$ \Longleftrightarrow \forall x \in S,\forall U \in I(x) : U \cap X \ne \emptyset[/tex]
[tex]$X[/tex] denso in $S$ [tex]$ \Longleftrightarrow \forall A \in \mathcal{A},A \ne \emptyset : A \cap X \ne \emptyset[/tex]
Io non sapendo per bene come visualizzare la questione ho immaginato la retta reale. E ciò non mi sembra affatto vero. Confermate questo o ho preso una cantonata?
Intuitivamente se io considero un qualsiasi punto di $S$ posso certamente trovare un "intervallino" che lo contiene del tutto disgiunto da un $x_0$ fissato.
Mi convinco che questo valga anche in $RR^2$. E credo che si possa estendere ad $RR^n$.
Quindi quell'insieme non è denso.
Grazie a tutti!
Dimostrare che [tex]$\bar{S(x_0,\epsilon)}=\{x \in \mathbb{R}^n | d(x,x_0)\leq\epsilon\}[/tex] è denso in $RR,d$ con $d$ distanza euclidea.
Ricordo cosa vuol dire insieme denso e due caratterizzazioni che possono tornare utili:
Sia [tex]$(S,\mathcal{A})[/tex] spazio topologico ed $X \sub S$. $X$ è denso in $S$ se $bar(X) =S$
Da cui si hanno queste caratterizzazioni:
[tex]$X[/tex] denso in $S$ [tex]$ \Longleftrightarrow \forall x \in S,\forall U \in I(x) : U \cap X \ne \emptyset[/tex]
[tex]$X[/tex] denso in $S$ [tex]$ \Longleftrightarrow \forall A \in \mathcal{A},A \ne \emptyset : A \cap X \ne \emptyset[/tex]
Io non sapendo per bene come visualizzare la questione ho immaginato la retta reale. E ciò non mi sembra affatto vero. Confermate questo o ho preso una cantonata?
Intuitivamente se io considero un qualsiasi punto di $S$ posso certamente trovare un "intervallino" che lo contiene del tutto disgiunto da un $x_0$ fissato.
Mi convinco che questo valga anche in $RR^2$. E credo che si possa estendere ad $RR^n$.
Quindi quell'insieme non è denso.
Grazie a tutti!
Risposte
Quell'insieme non è denso. È sufficiente notare che la chiusura di un insieme chiuso (e il tuo insieme è chiuso per definizione di chiusura) è l'insieme stesso. L'unico chiuso $X \subseteq S$ tale che $\bar{X} = S$ è $S$...
Ti ringrazio per aver fugato i miei dubbi apatriarca. Siccome avevo un esercizio del genere svolto che diceva invece che era denso ci stavo perdendo la testa 
Grazie ancora.
Grazie ancora.
Che cosa diceva l'esercizio?
Verificare se l'insieme proposto fosse denso oppure no in $RR^n$
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