Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve di nuovo a tutti ragazzi, propongo un quesito che spero possiate aiutarmi a risolvere (ho un esame la settimana prossima!), dato che ci ho capito pochissimo.
Ho pensato inizialmente di scrivere:
$L(x) = |(a,b),(c,d)|$
Dove $L(x)$ (applicazione lineare) sta per la $f$ dell'esercizio.. poi;
$L^{2}=L(L(x))=L(|(a,b),(c,d)|)=0$
Ma cosa ci ricavo da questo, ammesso che sia un procedimento esatto?
Ho un'applicazione del tipo $ f: (x,y,z) -> (x+z,x+z,x+y)$ Mi chiede di calcolare la controimmagine del vettore ${ (1,1,1) } $
Ora, ho fatto la matrice con la colonna dei termini noti con il vettore, ho ridotto a scalini ed ho ottenuto una matrice del genere :
$((1,0,1,1),(0,1,-1,0),(0,0,0,0))$
Per procedere con il sistema, pongo z=t e scrivo le due equazioni restanti..? Domani ho l'esame ed ho davvero dei dubbi stupidi :S
ciao, ho un piccolo grande problema con la diagonalizzazione.
devo fare un esercizio che dice:
decidere se la matrice $ A: ( ( 2 , -2 , 1 ),( -2 , 5 , 2 ),( -1 , 2 , 2 ) ) $ è diagonalizzabile su $RR$ , ed in caso affermativo trovare la forma diagonale ed una matrice diagonalizzante.
ho trovato il polinomio caratteristico, le cui radici sono h=1 MA(1)=2 e h=7 MA(7)=1.
facendo l'eliminazione di gauss su $ ( ( A-hI ) ) $ con h=1 ottengo 1 pivot-> MG(1)=n-r=2 e con h=7 ottengo MG(7)=1.
dico che la ...
salve è da un po' che mi sto scervellando su come risolvere questo quesito:
io ho la retta r: $ { ( x+y+z=1 ),( 2x+5y-4z=2 ):} $ identificata dai due piani e devo trovare il piano passante per $ P(1;0;2) $ e perpendicolare alla retta r!
all'apparenza sembra banale, dato che basta trovare una retta del piano da trovare e imporre che sia perpendicolare a quella data e passante per $ P $ , ma a calcoli non ci salto fuori! Non so da dove partire dal
momento che l'equazione del piano che ...
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio di geometria: devo trovare l'equazione parametrica di una retta r ortogonale alla retta s di equazione $ x+y-z=-1 $ $ x+2y+z=2 $ , parallela al piano $-x+y-z=-1$ e passante per il punto (1, -1, 2). Fino ad ora ho chiamato la retta r $ t(a,b,c) + (1, -1, 2) $ e poi ho pensato di imporre l'ortogonalità tra i parametri direttori di r (a, b, c) e quelli di s. Poi ho imposto l'ortogonalità tra (a,b,c) e i parametri direttori del piano. Ora ...
salve studiando mi sono imbattuto sulle relazioni tra le matrici in base al determinante e quindi al calcolo dell'inversa utilizzando il determinante e ho trovato questo esempio :
sia A= $$\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}1&2&1\\0&1&{ - 2}\\{ - 1}&2&3\end{array}} \right)$$
si ha che det A=12
Poiché:
$${A_{11}}$$=7 $${A_{21}}$$=-4 ...
Ciao a tutti,
volevo chiedere chiarimenti su un implicazione di un passo della dimostrazione della seguente proposizione:
Sia $ F:V -> V $ applicazione lineare
Sia $ U sub V $ sottospazio di V tale che $ F(U) sube U $
Si consideri l'applicazione lineare $ f:U -> U $ ottenuta restringendo F al sottospazio U.
Allora il polinomio caratteristico di f divide il polinomio caratteristico di F
$ pF(t) = pf(t)h(t) $
Dimostrazione
Sia u1,...,um una base di U e la si ...
Salve, stò affrontando l'argomento "rappresentazione per punti di un dato polinomio" e nel mio libro, ad un certo punto, viene detto :
Per un insieme qualsiasi ${(x0,y0),(x1,y1), ... , (xn, yn)}$ di $n$ punti tali che tutti i valori di $xk$ siano distinti, esiste un unico polinomio $A(x)$ di grado limite $n$ tale che $yk=A(xk)$ per $k=0, 1, ... , n-1$
Ora per la dimostrazione prende una matrice di Vandermonde. (Praticamente mette in forma matriciale ...
Ragazzi non riesco a risolvere questi 3 problemi, mi aiutate a risolvere almeno uno? Grazie
1) Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , 0 , -1 , -3 ),( 0 , b , 2 , 4 ) ) $ : dire per quali valori 'a' e 'b' è diagonalizzabile.
2) Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , b , -1 , -3 ),( 0 , 0 , 2 , 4 ) ) $ : dire per quali valori 'a' e 'b' è diagonalizzabile.
3) Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , b , -1 , -3 ),( 0 , 0 , 1 , 4 ) ) $ : dire per quali valori 'a' e 'b' è diagonalizzabile.
ciao potreste aiutarmi??
ho una curva $a(t)=(0,f(t),t)$ con $f(t)>0$ e devo scrivere una parametrizzazione per la superficie generata dalla rotazione di tale curva intorno all'asse $z$
se scrivo $x(u,v)=(cos v cos f(t), cos v sen f(t), t)$ è giusto??
$f((1),(1),(1))=((0),(1),(1))$ , $f((0),(1),(1))=((-1),(-1),(-1))$ , $f((2),(2),(0))=f((a),(4),(3))$ , $f((1),(2),(3))=((0),(0),(0))$
la prima delle richieste è determinare a... come faccio?
Ragazzi, un ultima domanda e poi vi giuro che vi lascio in pace...
se ho:
$r:{(x= 3-t),(y= 2-1/2t),(z= -3):}$
e
$s:{(x= -1+2t’),(y= 1-4t'),(z= -2-6t’):}$
Devo scrivere l’equazione del piano contenente s ed ortogonale ad r.
mi serve un piano generico è del tipo $ax+by+cz=d$ che
deve contenere s , quindi devo usare le coordinate del vettore direttore(+2,-4-6) e porle a sistema con l'equazione del piano
deve essere ortog a r, quindi usare $a,b,c$ che sono (3,2,0)
di conseguenza ...
Salve, mi trovo in difficoltà con questo esercizio,potreste darmi una mano??
Considerare il sottoinsieme di $R^3$ dato da $S = {f(x; y; z) in R^3 | z = x^2 -y^2}$
1. Mostrare che $S$ è una superficie regolare.
2. Mostrare che $x(u; v) = (u+v; u-v; 4uv)$ con $ (u; v) in R^2$ e $y(u; v) = (u cosh v; u sinh v; u2)$ con $(u; v) in R^2$ con $u !=0$ sono parametrizzazioni di $S$
3. Determinare quali sono le parti di $S$ ricoperte dagli intorni coordinati descritti.
4. Calcolare ...
salve spero che mi possiate aiutare con questo problema:
date due rette:
x+2z=2
r: {
3x+z=-1
y+z=0
s: {
x-3z=0
come faccio a trovare la distanza tra queste due rette? ma soprattutto come faccio a definire una equazione singola per ogni retta e non un sistema di due equazioni (dove queste indicano dei piani)?
grazie in anticipo!
Sia $F: RR^4 \to RR^4$ l'applicazione lineare definita da :
F=$((1),(0),(0),(0))$=$((0),(0),(0),(1))$ F=$((1),(2),(0),(0))$=$((4),(0),(2),(1))$ F=$((1),(2),(3),(0))$=$((4),(3),(2),(1))$ F=$((1),(2),(3),(4))$=$((0),(3),(2),(1))$
Come si calcola in questo caso la matrice associata alla funzione?
Io avevo pensato che i vettori, su cui si applica l'applicazione lineare, si possono riscriverli come somma delle varie componenti canoniche.
Volevo chiedervi se come procedevo andavo nelle direzione ...
Dunque, eccomi davanti all ennesimo dubbio topologico, questa volta di natura un po' piu' "creativa".
Supponiamo per comodita' di lavorare per ora solo su $RR^2$.
Sia quindi$ A$ un sottoinsieme qualsiasi di $RR^2$.
Sia $X=RR^2/A$ lo spazio quoziente identificando tutti i punti di A in un unico punto.
Si chiede ora se X sia compatto, di Hausdroff e connesso.
La connessione vien da se' in quanto il quoziente di un connesso e' connesso ...
buona sera a tutti, ho un esercizio molto semplice solo che non riesco a calcolare ciò l'esercizio mi chiede o meglio non so dove sbaglio...
La traccia è la seguente:
Si considera la seguente coppia di sottospazi di $RR^4$:
$W={(x, y, z, t) in RR^4 |x+2y-z+t=0}$, $V=<(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 2), (1, 2, 3, 4)>$
ne devo calcolare una base di $V nn W$:
dato che: $V nn W= {u in RR^4 -t.c.- u in V, u in W}$
$u in V iff EE lambda_1, lambda_2, lambda_3$ tale che $u= lambda_1v_1+ lambda_2v_2, lambda_3v_3$ sapendo che $V=<v_1, v_2, v_3>$ ho gli elementi per trovare la base:
...
salve a tutti! Vi scrivo per chiedervi di aiutarmi a capire come risolvere questo esercizio sui sotto spazi affini:
Al variare di $ k in RR $ considerare in $ RR^3 $ il sottospazio affine
$ E= ( ( 1 ),( k ),( -1 ) ) $ + $ Span ( ( ( 12 ),( 6 ),( 13-6k ) ) $ , $ ( ( 3 ),( k ),( 1 ) ) ) $
A)Calcolare la dimensione di E al variare di k;
B)Esibire equazioni cartesiane di E al variare di k;
Per risolvere A) ho calcolato il determinante della matrice $ B=( ( 12 , 3 ),( 6 , k ),( 13-6k , 1 ) ) $ e posto uguale a zero, ricavando ...
Siano $r$ di equazione parametriche $\{(x=2t),(y=1-t),(z=2):}$ con $t$ $in$ $RR$ ed $\alpha$ il piano di equazione $x+y-z=0$.
Scrivere una rappresentazione per la retta $s$ giacente su $\alpha$ e perpendicolare ad $r$.
Scrivere una rappresentazione per la retta $s$ giacente su $\alpha$ e incidente a $r$.
Non so assolutamente come iniziarlo,grazie in ...
Giorno a tutti, ho questo esercizio:
Scrivere l’equazione dei piani $\pi_1 , \pi_2 $ ortogonali alla retta r
$r: { (3x-2y+4z-3=0),(-x+y-3z=0):} <br />
<br />
e passanti rispettivamente per i punti $P_1(-1,0,0) e P_2(0,0,1) $<br />
<br />
ii) Calcolare la distanza tra $\pi_1 , \pi_2 $<br />
<br />
Allora io ho trovato l'equazione parametrica della retta r sostitundo y=t<br />
<br />
r: $ { (x=t-2),(y=t),(z=t/4-9/4):} $<br />
<br />
quindi i 2 piani ortogonali sono <br />
<br />
del tipo $ x+y+1/4z=k$<br />
<br />
imponendo i passaggi per i punti mi trovo<br />
<br />
$\pi_1: x+y+1/4z=-1$<br />
<br />
$\pi_2: x+y+1/4z=1/4$<br />
<br />
Visto che i piani sono paralleli la distanza è $ 1/4 - (-1) = 5/4 $
Giusto? è tutto corretto? Vi prego aiutatemi
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