Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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mettiamo il caso generale in cui ho un sistema lineare non omogeneo del tipo:
$ { ( alphax+betay+gammaz+deltat=k ),( alpha'x+beta'y+gamma'z+delta't=k' ),( alpha''x+beta''y+gamma''z+delta''t=k'' ):} $
in cui arrivo a concludere che S (l'insieme delle soluzioni del sistema) è:
$S={z(a,b,c,d)+t(e,f,g,h)+(i,l,m,n)$ con $z,t in R}$
è la stessa cosa dire:
a)
$(i,l,m,n)$ è soluzione del sistema di partenza ed $S_0=<(a,b,c,d),(e,f,g,h)>$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato al sistema di partenza
è equivalente a dire:
b)
$S=<(a,b,c,d),(e,f,g,h),(i,l,m,n)>$ (cioè $S$ è lo spazio generato ...
Ciao, spero di essere nella sezione giusta...
Ho un esercizio che date queste equazioni di 3 piani:
$ x+y+2z=3$
$ 2x-y+z=alfa $
$ x+4y+5z=6$
mi chiede di trovare alfa affinchè non ci siano punti in comune tra i 3 piani. Che io sappia questo accade se i tre piani sono paralleli, così i loro vettori normali devono essere proporzionali giusto?? del tipo (a,b,c)= X(a', b',c')...
Bene arrivato qui mi fermo perchè appena applico la procedura non trovo risultato.
Come si fa?
$| ( 1 , 2 , 1 , 1 ),(2, 3, -2, -1 ),( 1, 2 ,3,-1 ),( 3 , 5 ,-1,0 ) |$ con l'ultima colonna dei termini noti
scambio la riga uno e l'ultima per avere $a_(1,1)$ come valore più alto
$|( 3 , 5 ,-1,0 ),(2, 3, -2, -1 ),( 1, 2 ,3,-1 ), ( 1 , 2 , 1 , 1 ) |$
a questo punto dovrei inizare a dividere i coefficenti?
Le rette (improprie) passanti per il vertice (improprio per def) di un cilindro sono contenute nel cilindro?
Dati due sottospazi U, Z di R^n e una matrice A reale mxn. Dimostrare l'inclusione:?
A(U intersecato Z) incluso in AU intersecato AZ
Mi servirebbero anche due esempi di inclusione stretta e uguaglianza:
A(U intersecato Z) incluso strettamente in AU intersecato AZ
A(U intersecato Z) = AU intersecato AZ
So fare le operazioni d'intersezione e somma tra sottospazi e dimostrarle ma in questo caso non saprei applicare una matrice a tali operazioni. Aiutatemi!!!
Sia f l'endomorfismo di R^3 rappresentato nel riferimento R = ((1,1,1),(0,1,1),(0,1,0)) dalla seguente matrice :
A= $ ( ( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 2 ,1 ),( -1 , 0 , 1) ) $
Studiare diagonalizzabilità e diagonalizzazione ortogonale.
Ciao ragà. l'esercizio l'ho svolto! f è diagonalizzabile ma non ortogonalmente diagonalizzabile dato che A non è simmetrica; e se A non è simmetrica di conseguenza neanche f lo è, quindi ciò implica che f non è ortog. diagonalizz.
La mia domanda si riferisce al riferimento R. Perchè me lo ...
Salve ragazzi, tra quattro giorni ho l'esame ma non riesco proprio a capire questo esercizio:
Dati i vettori a1 = (1,−1, 1, 1)T , a2 = (0,−2, 1, 0)T , a3 = (−2, 0,−1,−2)T
calcolare un vettore che sia una loro combinazione lineare e studiare il
sistema di equazioni corrispondente alla suddetta combinazione lineare.
Non capisco proprio come deve essere svolto l'esercizio nonostante abbia letto da diverse parti. Mi fareste un grosso favore a mostrarmi lo svolgimento. Grazie tante
Ciao! Mi sto cimentando in un esercizio che richiede una dimostrazione:
Siano $X$ e $Y$, contenuti in $RR^RR$,rispettivamente i sottospazi delle funzioni pari e dispari. Dimostrare che $X+Y=RR^RR$.
Ho iniziato così: devo dimostrare che ogni elemento appartenente a $X+Y$, appartiene anche a $RR^RR$. Questo è facile da dimostrare e l'ho fatto.
Ora però come dimostro che ogni elemento di $RR^RR$ è anche elemento di ...
Eccomi di nuovo con nuovi dubbi sulla topologia
Sappiamo su che [tex]$\mathbb{R}^n[/tex] possiamo definire la topologia indotta dalla metrica euclidea.<br />
Però possiamo anche definire la topologia prodotto di spazi topologici, una cui base è data dal prodotto delle basi della topologia naturale su $RR$, ovvero gli intervalli aperti.<br />
<br />
Le due topologie sono ovviamente equivalenti. <br />
<br />
Intuitivamente su $RR^2$, equivale a chiedere poter passare da intorni circolari ad intorni quadrati (rettangolari) o viceversa. Il che è abbastanza intuitivo. <br />
Il problema è che non mi trovo con i conti nell'equivalenza tra la topologia naturale e quella prodotto, son convinto sia una fesseria in realtà <!-- s:D --><img src="/datas/uploads/forum/emoji/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --><br />
<br />
Sia [tex]$x \in \mathbb{R}^n[/tex] e sia [tex]$B=S(x_0,\epsilon)[/tex] intorno sferico e [tex]$ x \in B[/tex]
Allora [tex]$d(x,x_0)<\epsilon \rightarrow \epsilon-d(x,x_0)>0[/tex]<br />
<br />
Per cui esiste [tex]$\delta>0 t.c. 0
Buonasera a tutti!
Ho una domanda da porvi, la cui risposta probabilmente sarà banale, ma non riesco a coglierla:
Sia assegnato uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto scalare. Supposto che esista una base ortogonale di tale spazio, perché questa non può contenere vettori isotropi?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.[/tex]
Salve a tutti ragazzi, non riesco a risolvere questo esercizio:
Si determini per quali valori del parametro reale h il sistema non ammette soluzioni:
x -2hy +z +t = h
y -hz = 0
x +2y +z -ht = 0
Credo che bisogni vedere per quali valori del parametro i ranghi delle due matrici, completa e incompleta, sono diversi. Ma non so come procedere, ho bisogno che mi diciate con quale ordine logico mi devo muovere in esercizi come questo Ho sempre una gran difficoltà a ...
Fissato nello spazio proiettivo complesso tridimensionale un riferimento reale R, sia Q la quadrica reale avente la conica impropria formata da una sola retta.
Si classifichi Q nel caso in cui la sua parte propria reale e propria non è connessa ( in $ R^{3} $ con la topologia naturale ) .
Il mio ragionamento è questo:
La conica impropria di Q è formata da una sola retta , quindi Q può essere solo degenere, in particolare può essere un cilindro parabolico, un unione di due ...
Buongiorno a tutti! Ho cercato un po' per le risposte ma non ne ho trovata nessuna che corrispondesse a pieno a ciò di cui ho bisogno, per cui apro un nuovo topic... (ok, moderatori, ora potete pure contraddirmi ). Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Dato il punto $P(1,2,-1)$ e il piano $pi=x-y-2z+11=0$, determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta $r$ che passa per l'origine e per il punto $Q$, proiezione ortogonale di ...
Salve ragazzi allora, il problema testualmente è questo:
Dire se il vettore (-5/3;-4/3 ; 0; 0)T è una soluzione basica del sistema:
x1 -2x2 +x3 -x4 = 1
-2x1 +x2 -2x3 +2x4 = 2
x1 -5x2 +x3 -x4 = 5
ed in caso affermativo, porre il sistema in forma canonica rispetto ad essa.
Ho proceduto a verificare se sostituendo alle incognite la soluzione basica data tutte le equazioni sono soddisfatte, ed effettivamente è così. Ma non ho capito come fare a porre il sistema in forma canonica rispetto a ...
La domanda, lo ammetto, è banale ma non sono riuscito a trovare in rete una risposta.
Il prodotto scalare tra due numeri complessi restituisce uno scalare?
Ad esempio se ho
$z_1=1+2i$ e
$z_2=3-2i$
allora $(z_1|z_2)=1*3+2*(-2)=-1$ ?
Il problema nasce dal fatto che in una dimostrazione ho trovato questa proprietà: dati due numeri complessi u e v, allora:
$(u+v|u+v)=(u|u)+(u|v)+(v|u)+(v|v)=|u|^2+(u|v)+\bar{(u|v)}+|v|^2=|u|^2+2Re(u|v)+|v|^2$
dove si è sfruttata la linearità del prodotto scalare e il fatto che $Re[z]=(z+\barz)/2$ .
Ma se ...
Non ricordo più come si fa (o forse non l'ho mai saputo XD)
Ad esempio voglio trovare una curva parametrica d'intersezione tra il paraboloide $ z = x^2 + 4y^2 $ con il piano $ z = 3x-2y $
o ancora tra $ z = x^2 + y^2 $ e $ 2x-4y-z=1 $
come faccio?
grazie mille in anticipo
Ciao ragazzi ho quest'alro esercizio! Con la differenza che è già svolto ma non capisco un passaggio!
EX:
Supponiamo di avere un riferimento cartesiano $ cc(R)^{\prime} $ = (A , R' = (AA' , AA'' , AA''' ) dove R' è un riferimento baricentrico e dove
AA' = (0,-1,1) , AA'' = (-1,0,0) , AA''' = (0,1,2). Determinare $ cc(R) $ $ rarr $ $ cc(R)^{\prime} $ tale che X' = MX + C dove M è la matrice delle formule di trasformazione R $ rarr $ R' con R riferimento ...
sia v = v(1)........v(n) un sistema di vettori di V
Per determinare una base di Lin(v(1)......v(n) ) sfrutto il seguente teorema:
Sia B una matrice ridotta per righe e ottenuta da (t)A con il procedimento di riduzione di Gauss-Jordan. Allora una base di Lin(v(1)......v(n) ) è costituita dai vettori a=a(i,1)b(1)+.....a(i,n)b(n) ,........., w=w(p,1)b(1)+........w(p,n)b(n) dove i,....p sono gli indici delle righe non nulle di B
A è la matrice delle componenti di v rispetto alla base b le cui ...
Salve! Sto sudiando gli omomorfismi tra spazi topologici e vorrei risolvere alcuni esercizi tra cui questo:
"Provare che la retta euclidea, la retta di Sorgenfrey e il piano euclideo sono a due a due non omomorfi."
So che in topologia, f funzione è un omorfismo se è continua,biettiva e se la sua inversa è continua.
Quando vado a stabilire gli insiemi di definizione della f che devo esaminare, vado ad introdurre una determinata topologia nello spazio metrico, diversa in base agli spazi che ...
Sia $p : V -> V$ una applicazione lineare tale che $p ° p = p$.
Dimostrare che si può scrivere $V$ come somma diretta di $Im(p)$ e $Ker(p)$.
Dimostrazione:
Per un lemma noto, so che uno spazio vettoriale $V$ si può scrivere come somma diretta di due sottospazi $W, W'$ se e solo se un generico vettore $v$ di $V$ si può scrivere come somma di un vettore $w$ di ...
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