Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia X un insieme non vuoto, Y uno spazio topologico con topologia $\tau_Y$ e $f: X rarr Y$ una funzione.
a) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi di X così definita è una topologia su X:
$\tau_f = {f^(-1) ( U) : U in \tau_Y}$
b) Consideriamo l'applicazione $f: RR^2 rarr RR$ così definita: $f(x,y)= x + y$.
Prendiamo su $RR$ la topologia discreta $D$. Sia $\tau_f$ la topologia indotta come definita in a).
- $\tau_f$ è confrontabile con la ...
Salve a tutti sono nuovo!
Sto preparando l'esame di algebra all'uni e mi ritrovo davanti un esercizio del tipo
"Nello spazio vettoriale R^3 fissa la base canonica B, siano dati i vettori u=(1,0,1) v=(1,1,0) w=(-1,2,0), sia X={u,v,w}
Trovare L(X) e la sua dimensione"
Dalla teoria la dimensione di uno spazio vettoriale è pari alla cardinalità di una sua base se V!={0} quindi in questo caso dim L(X)=3 xkè la base canonica (e1,e2,e3) ha tre elementi?
Il suo lineare da teoria leggo che è ...
Problema al punto b) e c)
Siano dati il piano $\alpha:y+z=0$ e il punto $A(0,1,-1)$.
a) verificare che $A in alpha$ e scrivere l'equazione di una retta $r$ contenuta in $alpha$ e passante per $A$.
b) quante circonferenze ci sono su %alpha% aventi raggio 1 e tangenti in A a r? Scriverne una a scelta.
c) determinare infine il luogo descritto dai centri di tali circonferenze, al variare della retta $r$ per ...
Buongiorno a tutti.
Avrei bisogno (di nuovo) del vostro prezioso aiuto per alcuni esercizi di geometria su topologie.
TESTO
Si consideri l'insieme $X={1,2,3,4,5}$ e la famiglia di sottoinsiemi di $X$:
$\tau= {X,\emptyset,{1}, {3}, {1,3}, {1,4}, {1,3,4}, {1,3,4,5} }$
a) Dimostrare che $\tau$ è una topologia su X e che non è metrizzabile.
Sia $E={2,3}<br />
<br />
b) E è aperto? Trovare la parte interna. E è chiuso? Trovare la sua chiusura.<br />
c) E è connesso? E' compatto?<br />
<br />
RISOLUZIONE<br />
a) $X, \emptyset in \tau$ per come è definito $\tau$. Quanto a unione e intersezione di aperti, ho verificato che appartengono all'insieme, comunque scelti gli aperti (non sto qui a scrivere tutte le verifiche, ci metterei una vita...)<br />
Ho poi dimostrato che $(X, \tau)$ non è di Hausdorff, quindi non è metrizzabile. Per farlo ho considerato i punti $3,4 in x$.<br />
Come intorni aperti ho considerato invece ${1,3}, {1,4} in ...
salve, mi presento essendo il primo post sul forum, mi chiamo Alessandro e sono studente alla facoltà di Ingegneria di Ferrara. ho un problema con un esercizio su un'applicazione lineare e cercando nel forum non sono riuscito a trovare una risposta chiara. L'esercizio è proposto in questa maniera:
sia $ f:R^3 -> R^3$ la funzione lineare tale che:
$f(1,0,0)=(0,2,1); f(1,1,0)=(-2,-2,4); f(0,0,1)=(-1,-3,0)$
devo calcolare $f(x,y,z)$ inoltre calcolare Nf (il nucleo ma questo so farlo) e determinare se la funzione è suriettiva ...
sia $f in End (RR^3)$ ed $A=((0,1,0),(1,0,0),(0,0,1))$ la matrice ad esso associata rispetto alla base canonica $RR^3$
Determinarne la matrice diagonale D rappresentativa di $f$
Ma la matrice A in questo caso come si diagonalizza?
Ciao a tutti, sono nuovo ma seguo da un pò il forum e devo dire che si trovano molte risposte utili. Comunque, passiamo al mio problema.
Siano V e W due spazi vettoriale e T:V ---> W un'applicazione lineare (quindi T è elemento di Hom(V,W))
Se $ B=(b_1,...,b_n) $ e $ C=(c_1,...,c_m) $ sono basi per V e W rispettivamente e dimV=n, dimW=m, si può definire la matrice di T rispetto alle basi B e C che è elemento dell'insieme delle matrici mxn a coefficienti in K (con K campo). Questa matrice è ...
Non mi dilungo molto sulle parti che mi sono chiare, vorrei solo un parere sulla locale connessione.
Detta [tex]\mathcal{A}_n[/tex] la topologia natruale su [tex]\mathbb{R}[/tex], sia [tex]\mathcal{A}:=\{A \cap \mathbb{R}_+\ |\ A \in \mathcal{A}_n \} \cup \{\mathbb{R}\}[/tex]. Ho provato che questa è una topologia su [tex]\mathbb{R}[/tex] e vorrei provare che lo spazio [tex](\mathbb{R},\mathcal{A})[/tex] è localmente connesso (ho già dimostrato che è connesso). Fisso dunque [tex]x \in ...
Ciao a tutti, ho un dubbio sulle matrici ortogonali, su un libro è riportato che U è ortogonale se U*Ut=I mentre su un'altro è riportato che U è ortogonale se U*Ut=Ut*U=I. In un esercizio in cui mi si dice di trovare i valori del parametro per cui una matrice è ortogonale, posso limitarmi a risolvere il sistema U*Ut=I oppure devo risolvere U*Ut=I e Ut*U=I e dimostrare che il valore dei parametri è lo stesso?
Grazie mille a tutti!
Trovo difficolta nel trovare le soluzioni quando discuto un sistema parametrico. Questo é il sistema:
$x + kz = -1$
$kx - 2y + z = -3$
$-kx + 4y + 7z = 3$
dopo averlo discusso devo risolverlo per $k = 2$
Allora io ho utilizzato il teorema di Rouche Capelli per cui un sistema ha soluzioni se $rk(A) = rk(A|b)$
Scrivo la matrice associata:
$(1,0,k),(k,-2,1),(-k,4,7)$ trovo il determinante $det(A)= 2k^2-18$ con $k=3$ e $k=-3$ per cui ...
Salve a tutti... mi sento un po scemo a fare una domanda che dovrei saper risolvere facilmente, ma non capisco cosa mi manca:
ho semplicemente la retta
x+y=1,-y+z=2
e devo trovarne un'altra a questa perpendicolare che passi per P(0,1,3) e appartenga al piano
x+y=1.
Avevo pensato così:
faccio il sistema
x+y=1 , ax+by+cz+d=0
la cui seconda equazione se passa per P diventa
ax+by+cz-(b+3c)=0
Trovo quindi i parametri direttori delle rette e imposto le condizioni di ortogonalità ottenendo ...
Ciao a tutti e... vorrei proporvi il mio dubbio:
se io calcolo il volume di un solido di rotazione moltiplicando il poligono che dopo andrà fatto girare attorno al suo asse per la circonferenza (di base, ovvio)
per esempio in un cono:
$(((r*r)3,14)*h)/3$
in teoria area di base per altezza diviso 3
se io provo a fare
$((2r)3,14)*((r*h)/2)$
dovrebbe venire ( a logica )
ma manca un $/3$ che non so perchè....
perchè?
Dovrei rispondere a questo quesito..."dare una definizione di sottospazio generato da un insieme finito di vettori,di spazio vettoriale finitamento generato e sistema minimale di generatori"... ma non sono tutte e tre la stessa cosa?
grazie in anticipo
nello spazio tridimensionale viene data una retta $r$ di equazioni
$\{(2X_1 -X_3 =0),(2X_2-X_3 =2):}$
Scrivere la matrice nel riferimento canonico della riflessione $\rho : E^3 rarr E^3$, rispetto alla retta.
posso scrivere la retta $r=((0),(1),(0)) +<((1),(1),(2))><br />
trovo un sottospazio ortogonale alla retta $N=$
e poi come faccio a trovare la riflessione?
Sia V spazio vettoriale di dimensione 2 e sia $*:VxV->V$ compatibile con il prodotto per scalari e che rende V un campo.
Allora V e' isomorfo a $CC$.
Dimostrazione:
Sia $u_0\inV$ l'elemento neutro per il prodotto, cioe' $u_0v=vu_0=v$ $AAv\inV$.
Basta dimostrare che esiste $v_o\inV$ tale che $v_0^2=-u_0$ quindi sono indipendenti e $V=<u_0,v_0>$
Perche' da $v_0^2=-u_0$ segue che sono indipendenti?
Voglio proporre la risoluzione un sistema parametrico in N eq ed N incognite
Dato il seguente sistema, discuterne la compatibilità al variare di k:
${kx-y=-1$
${2x-y=k$
${x+kz=1$
Passo 1-Tradurre il sistema in matrice:
$A=((k,-1,0),(2,-1,0),(1,0,k))$
Passo 2-Trovare per quali valori il determinante della matrice è nullo: l'eq del determinate è $-K^2+2K$ Quindi il sistema è compatibile* nei casi in cui K sia diverso da 0 e da 2.
*Lo posso gia dire senza considerare ...
Salve a tutti!
Sono alle prese con un' applicazione lineare e mi si chiede di trovare il Kerf ed Imf e relative dimensioni.
L'applicazione è la seguente f $ R^3 --> R^3 $ $ f=(x,y,z)--->(-kx+y,-y,-2x-3y+kz) $.Io ho proceduto in questo modo:
1-Estraggo dall'applicazione il sistema associato:
$ { -kx+y=0,<br />
${-y=0,
${-2x-3y+kz=0 $
2-risolvendolo si ottiene $x=0,y=0,z=0$ questo mi dice che $kerf=(0,0,0)$ e la sua dimensione (data dal numero delle variabili in soluzione) in questo caso è 0.Da ...
vi chiedo se ho svolto bene questo esercizio:
trovare l'equazione cartesiana del seguente sottospazio di $R^2$:
V=L((1,2),(3,4))
dimV=2
metto in colonna i vettori in una matrice, aggiungo le variabili x e y e riduco a scalini:
$| ( 1 , 3 , x ),( 2 , 4 , y ) |<br />
$ | ( 1 , 3 , x ),( 0 , -2 , y-2x ) |
$
l'equazione sarà:
y-2x-2=0 ?
Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali sul campo $QQ$ dei numeri razionali e sia $dim V =4$ e $dim W=3$.
Si dica se esiste un'applicazione lineare $\phi : V rarr W$, che soddisfi alle condizioni:
$\phi(v_1 -2v_2) = \phi (3v_3 -v_4) =w _1 -w_2$
$\phi(v_1 +v_4) =\phi (2v_2+3V_3) =w_2 - w_3$
Scrivere tutte le matrici $\alpha_{V,W}(\phi)$ di tutte le applicazioni lineari e soddisfacenti a tali condizioni.
Si tratta di una sottovarietà lineare di $A (Hom_(QQ) (V,W))$? Se sì, di quale ...
Mi sono imbattuto in questa domanda:
Sia g un endomorfismo tra spazi vettoriali, quando tale endomorfismo conserva il prodotto scalare?
Avevo pensato di rispondere così:
Un endomorfismo è un omomorfismo e dunque affinchè conservi il prodotto scalare deve conservare il prodotto scalare tra due vettori qualsiasi.
Cosa ne pensate?
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