Dimostrare che $dim[N(f)]+dim[Im(f)]=n$

[cappellaiomatto1]

ciao a tutti,allora
sia $F:V->W$
supposto che $Im(f)$ e $N(f)$ hanno dimensione finita vale la seguente: $dim[N(f)]+dim[Im(f)]=n$

dimostrazione:

essendo $N(f)$ un sottospazio di dimensione finita diciamo $dim[N(f)]=s$possiamo prendere una sua base $ {n_1,...,n_s } $
a questo punto prendo $v_1,...v_n$ $inV$ tali che $ {n_1,...,n_s,v_(s+1),...,v_n } $ rappresenti una base di $V$

devo provare che $n-s=dim[Im(f)]$ ovvero che $ {v_(s+1),...,v_n } $ rappresenti una base per $Im(f)$,

ogni vettore $w$ può essere scritto nel seguente modo :
$ w=F(a_1n_1+...+a_sn_s+b_(s+1)v_(s+1)+...+b_nv_n)=a_1F(n_1)+...+a_sF(n_s)+b_(s+1)F(v_(s+1))+...+b_nF(v_n)=b_(s+1)F(v_(s+1))+...+b_nF(v_n) $

quindi $ F(v_(s+1)),...,F(v_n) $ generano $Im(f)$

e aquesto punto non capisco perche si dovrebbe dimostrare che anche che $ v_(s+1),...,v_n $ siano linearmente indipendenti!

non si sa gia dal fatto che appartenevano alla base base di $V$???

[alvinlee881]

"cappellaiomatto":
devo provare che $n-s=dim[Im(f)]$ ovvero che $ {v_(s+1),...,v_n } $ rappresenti una base per $Im(f)$

No, $ {f(v_(s+1)),...,f(v_n) } $ è il candidato ad essere base di $Im(f)$. $Im(f)$ sta in $W$. E anche dopo

"cappellaiomatto":
e aquesto punto non capisco perche si dovrebbe dimostrare che anche che $ v_(s+1),...,v_n $ siano linearmente indipendenti!
non si sa gia dal fatto che appartenevano alla base base di $V$???

Infatti non devi dimostrare questo, ma che $f(v_(s+1)),...,f(v_n)$ siano linearmente indipendenti.