Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve,
chiedo un piccolo chiarimento a cui ho un dubbio, sulla definizione di vettore nullo.
Se ad esempio prendo questa definizione: Sia A una matrice $mxn$, A ha rango di colonna pieno ssse A non possiede un vettore nullo.
A non possiede un vettore nullo; vuol dire questo:
se $\vec x!= \vec 0 rArr A \vec x = \vec 0 rArr \vec x = \vec 0 $
perciò il vettore nullo in questo contesto non vuol dire che $\vec x$ è il vettore tutto zero, ma è il vettore che facendo prodotto scalare con la matrice A, la matrice ...
Salve a tutti, oggi ho cominciato un corso che prevedeva un riepilogo di varie cose all'inizio e si è parlato di matrici ortonormali, che sono matrici, secondo la definizione data, tali che moltiplicate per la loro trasposta danno la matrice identità e si chiamano ortonormali perché le le loro colonne sono un insieme ortonormale di colonne. Ma le matrici che moltiplicate per la loro trasposta danno l'identità non si chiamano ortogonali? C'è qualche differenza? O ortonormale è un altro termine ...
Come si fa a far vedere che la Conoide di Plucker è una superficie rigata? Grazie a chiunque mi vorrà dare una mano.
Ciao a tutti. Mi trovo ad affrontare l'intersezione tra una quadrica ed un piano ed avrei un dubbio. Se io metto a sistema la mia quadrica con il mio piano in questo modo:
$\{(P=P_0+t(v)+s(w)),(P^(t)AP+2a^(t)P+a_(00)=0):}$
dove la prima equazione rappresenta il piano e la seconda la quadrica, ottengo un equazione di secondo grado nelle incognite $t$ ed $s$ che erano i parametri del piano. Ma io so che una conica è definita come il luogo geometrico dei punti del piano le cui coordinate ...
Buonasera a tutti, mi servirebbe la conferma della correttezza di una affermazione che ora vado a enunciare e dimostrare:
Affermazione: la derivata di un tensore non è in generale un tensore ( parlo proprio di derivata, non di derivata covariante! )
Dimostrazione: dato [tex]T^i[/tex] un tensore una volta controvariante che quindi si trasforma mediante la seguente formula:
[tex]T^{'i}=\frac{\partial x^k}{\partial x^{'i}}T^k[/tex] ...
Salve, ho risolto un esercizio che richiede di determinare:
* $CC$-sottospazi intersezione e somma di due sottospazi vettoriali
* ed i $RR$-sottospazi di $CC_2[x]$ intersezione e somma
l'esercizio mi è stato corretto ed è risultato giusto nella prima parte ma errato nella seconda in quanto ho sbagliato la dimensione di uno dei sottospazi.
Io so che la dimensione di un sottospazio in $RR$ è doppia rispetto alla sua dimensione in ...
Sia V uno spazio vettoriale euclideo e sia W ⊂ V un suo sottospazio. Chiamiamo w la proiezione ortogonale di v su W. Se dim(V)=n e dim(W) = k e se B = {e1,...,ek} una base ortonormale di W , segue che
w= $ sum_( i= 1 )^( k) $ ⟨w,ei⟩ei = $ sum_( i= 1 )^( k) $ ⟨v,ei⟩ei
La mia domanda é questa: w non dovrebbe avere n componenti e non k?
Mi aiutereste ad eliminare un dubbio su di un problema sul quale mi sono bloccato?
Sia [tex]X[/tex] uno spazio metrico compatto. Se ho una funzione [tex]f: X \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]f(X)\subseteq \mathbb{R}[/tex] è compatto, allora [tex]f[/tex] è continua?
(Naturalmente, la topologia su [tex]X[/tex] è quella indotta dalla metrica e su [tex]\mathbb{R}[/tex] è quella naturale).
Vi ringrazio per l'attenzione!
Ciao a tutti!!! vi propongo un'esercizietto (a mio avviso carino) di GD che mi è venuto in mente..... , vediamo chi avrà voglia di cimentarsi...se nessuno dovesse intervenire posterò io tra qualche giorno la soluzione!
Sia $k:I->RR$ una funzione di classe $C^infty$ tale che $k(s)>0$ per ogni $s \in I \sube RR$.
Scelto $s_0 \in I$, definiamo $\theta:I->RR$ ponendo $\theta(s)=\int_(s_0)^s k(t)*dt. <br />
Dati $a,b \in ...
Ciao a tutti..Sono alle prese con isometrie del piano e dello spazio e nel mio libro c'è scritto che nel caso delle isometrie dello spazio, se ho queta isometria
$((x'),(y'),(z'))$$=$$((1,0,0),(0,cos \sigma,-sin \sigma),(0,sin \sigma,cos \sigma))$$((x),(y),(z))$$+$$((a),(b),(c))$
posso avere una semplice rotazione rispetto ad una retta parallela all'asse x nel caso in cui $a=0$ mentre in caso contrario avrei una rototraslazione.
A questo punto ho cercato di capire perchè ho una rotazione ...
Salve, sono nuovo del forum e avrei un problema con il seguente esercizio.
Si considerino in $ RR^(3) $ i vettori $ v1 = (1,1,1) $ , $ v2 = (1,1,0) $, $ v3 = (1,0,0) $, $ v4 = (1,0,1) $.
Si dica se per qualche valore del parametro $ t in RR $ esiste un endomorfismo $ f $ di $ RR^(3) $ che verifica le seguenti condizioni:
$ f(v1) = (1,4,-2) $
$ f(v2) = (2,4,-4) $
$ f(v3) = (2,0,-4) $
$ f(v4) = (t,t-1,-2) $
e se in corrispondenza a ciascuno di ...
Ho la seguente proposizione:
Il piano $\pi$ è rappresentato è nel riferimento R da un sistema parametrico a coefficienti reali del tipo
${(x = x_0 + l s + l' t),(y = y_0 + m s + m' t),(z = z_0 + n s + n' t):}$
con $(l, m, n)$ e $(l', m', n')$ indipendenti ed $s$ e $t$ parametri reali.
Si dimostra nel seguente modo:
Sia $A(x_0, y_0, z_0)$ un punto del piano $\pi$ e siano $v(l, m, n)$ e $v'(l', m', n')$ due vettori liberi indipendenti paralleli al piano ...
salve a tutti,sto avendo problemi con la seconda parte di questo esercizio;
Considerare la struttura euclidea $RR$^4 l endomorfismo cosi definito:
$f:$RR$\to$RR$<br />
<br />
<br />
f(x,y,z,t)=(x+z,y+z,x+y-z,t)<br />
<br />
Determinare gli eventuali autovalori ed i relativi autospazi di f.<br />
la matrice identità che ho trovato è la seguente:<br />
<br />
<br />
$((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,1))$<br />
<br />
i risultati del polinomio che ho trovato sono :<br />
<br />
$\lambda$=1, con molteplicità 2<br />
$\lambda$=$+-$ $sqrt(3)$
ora ho difficolta nel trovare gli autospazi.
cortesemente qualcuno potrebbe spiegarmi come posso fare? basta anche per il primo risoltato, ...
Ciao a tutti,
sto studiando il polinomio di Lagrange e ho un dubbio di base che riguarda la costruzione di una retta passante per due punti.
In particolare la costruzione del polinomio di Lagrange inizia partendo dal fatto che (per due nodi):
$p_1(x)=(x-x_1)/(x_0-x_1)*y_0+(x-x_0)/(x_1-x_0)*y_1$
Il mio dubbio non riguarda lo sviluppo del polinomio di Lagrange ma riguarda l'equazione appena scritta. Come si ci arriva?
Salve ragazzi, sto preparando Elettrotecnica, ma ho un problema con il seguente sistema di due equazioni a due incognite che mi serve in seguito per determinare la trasformata di Laplace, qualcuno può darmi una mano descrivendomi i passi per risolverlo? Grazie a tutti.
$3/a-x-a/2(x-y)=0$
$a/2(x-y)+1/a-1/2y=0$
Ciao, volevo chiedervi una cosa...
Trovare il più piccolo sottospazio vettoriale di R3 contenente l’insieme {(x, x+1, x)}.
Ok? Ma come giustificarlo? Esiste un metodo generale? Le coordinate dei vettori di uno spazio vettoriale che relazione devono avere tra loro? Combinazioni lineari? Come si fa a sapere che non potrebbero essere in una relazione diversa (non "lineare") perché venga fuori lo stesso uno spazio vettoriale? Magari la domanda non ha molto senso, ...
Salve,
ho un dubbio su alcuni lemmi di algebra lineare che mi stanno incasinando parecchio.
1) Lemma 1:
Ogni matrice definita positiva non è singolare.
Dimostrazione:
Supponiamo che una matrice A sia singolare. Allora esiste un vettore $x$ non nullo tale che $Ax=0$. quindi $x^TAx=0$, e allora A non può essere una matrice definita positiva.
Domanda: ma questa dimostrazione è corretta? Ma se la definizione di matrice singolare è che deve evere un ...
ciao a tutti,
mi potete aiutare con questo problema??
data la matrice E=AxD+BxD, sapendo che det(A+B)=2t^2 + 2 e che rango(D)=2, calcolare il rango di E.
grazie..
Ciao, avrei bisogno di una conferma da parte vostra..mi trovo a fare i conti con questo tema: Il gruppo delle trasformazioni geometriche. Sapendo che una trasformazione geometriche è un applicazione biettiva tra spazi affini,la sua scrittura in coordinate rispetto a due riferimenti affini, e la nozione di gruppo..vorrei chiedervi se è giusto dimostrare che formano un gruppo rispetto alla composizione prendendo in esame le isometrie. Mi spiego meglio; per sapere se è un gruppo rispetto alla ...
Ciao, piacere di conoscervi...
non riesco a risolvere alcuni dubbi che forse mi aiutano a capire una dimostrazione oscura... ma quella un'altra sera
Da Sernesi, Geometria I:
1) p. 169: "Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico": anche viceversa? Se due matrici hanno lo stesso polinomio caratteristico sono simili?
2) Se queste due matrici hanno, quindi, gli stessi autovalori, hanno anche gli stessi relativi autovettori? Speriamo di sì... sarà "sì"? Ma è difficile più ...
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